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Formules et Théorèmes
1
Forme algébrique
2
Nombres complexes et géométrie
3
Cas d'application des nombres complexes
À savoir refaire
2
Nombres complexes et géométrie

    • APlan complexe et affixe

      • Définition

        Affixe d'un point

        On considère le plan muni du repère orthonormé (O;u⃗,v⃗)(O;\vec{u},\vec{v}). Soit MM un point de coordonnées (x,y)(x,y).
        • zM=x+iyz_M = x+iy est appelé l'affixe du point MM.
        • MM est appelé l'image du nombre complexe zMz_M.

      • Définition

        Plan complexe

        Le plan muni du repère (O;u⃗,v⃗)(O;\vec{u},\vec{v}) est appelé le plan complexe.

      • Définition

        Affixe d'un vecteur

        Soit w⃗\vec{w} un vecteur du plan de coordonnées (x,y)(x,y).
        • z=x+iyz=x+iy est appelé l'affixe de w⃗\vec{w}.

      • Remarque

        • Ces définitions permettent d'interpréter tout nombre complexe comme un point du plan complexe : on passe à de la géométrie !

      • Propriété

        Module et longueur

        Si MM est un point du plan, la longueur OMOM correspond au module de zz, l'affixe de MM :
        • OM=∣z∣OM = |z|

    • BArgument d'un nombre complexe

      • Définition

        Argument d'un nombre complexe

        Soit zz un nombre complexe non nul. Soit MM le point du plan dont il est l'affixe.
        • On appelle argument de zz une mesure en radian de l'angle (u⃗;OM⃗)(\vec{u};\vec{OM}).
        • On le note arg⁡(z)\arg(z)

      • Exemple

        Le nombre complexe ii est l'affixe du point M(0,1)M(0,1).
        • Un argument de zz est donc arg⁡(z)=π2\arg(z) = \frac{\pi}{2}

      • Propriété

        Argument défini à 2π2\pi près

        Soit zz un nombre complexe, affixe d'un point MM dans le plan complexe.
        • L'argument de zz est défini à 2π2\pi près.
        • (u⃗;OM⃗)=arg(z)+2kπ(\vec{u};\vec{OM})=arg(z) + 2k\pi, où k est un entier relatif.

      • Propriété

        Argument et opérations

        Soient zz et z′z' sont deux nombres complexes, avec z′≠0z' \ne 0.
        • arg⁡(−z)=arg⁡(z)+π+2kπ\arg(-z) = \arg(z) + \pi + 2k\pi où k est un entier relatif.
        • arg⁡(zˉ)=−arg⁡(z)+2kπ\arg(\bar{z}) = -\arg(z)+2k\pi où k est un entier relatif.
        • arg⁡(zz′)=arg⁡(z)+arg⁡(z′)+2kπ\arg(zz') = \arg(z) + \arg(z')+2k\pi où k est un entier relatif.
        • arg⁡(zz′)=arg⁡(z)−arg⁡(z′)+2kπ\arg(\frac{z}{z'}) = \arg(z) - \arg(z')+2k\pi où k est un entier relatif.
        • arg⁡(zn)=narg⁡(z)\arg(z^n)=n\arg(z)

      • Remarque

        Arguments particuliers

        • Soit xx un nombre réel :
          • Si xx est positif, son image MM est située sur « la droite » de l'axe des abscisses, donc son argument est 0+2kπ0+2k\pi.
          • Si xx est négatif, son image NN est située sur « la gauche » de l'axe des abscisses, donc son argument est π+2kπ\pi+2k\pi.
        • Si zz est un imaginaire pur de la forme bibi avec bb un réel :
          • Si bb est positif, son image KK est située sur « la partie haute » de l'axe des ordonnées, donc son argument est π2+2kπ\frac{\pi}{2}+2k\pi.
          • Si bb est négatif, son image LL est située sur « la partie basse » de l'axe des ordonnées, donc son argument est −π2+2kπ-\frac{\pi}{2}+2k\pi.

    • CForme trigonométrique

      • Propriété

        Forme trigonométrique

        Soit z=x+iyz=x+iy un nombre complexe. On pose r=∣z∣r=|z|, θ=arg⁡(z)\theta = \arg(z). Alors zz peut s'écrire sous la forme, dite trigonométrique :
        • z=r(cos⁡(θ)+isin⁡(θ))z = r(\cos(\theta)+i\sin(\theta))

      • Propriété

        Relations entre forme trigonométrique et forme algébrique

        Si zz admet la forme trigonométrique z=r(cos⁡(θ)+isin⁡(θ))z=r(\cos(\theta)+i \sin(\theta)), alors
        • Re(z)=rcos⁡(θ)Re(z) = r \cos(\theta)
        • Im(z)=rsin⁡(θ)Im(z) = r \sin(\theta)

      • Remarque

        • Cette relation permet de calculer la forme trigonométrique d'un nombre complexe à partir de sa forme algébrique, et inversement.

      • Exemple

        • Soit zz le complexe de forme algébrique : z=322+322iz=3\frac{\sqrt{2}}{2}+3\frac{\sqrt{2}}{2}i
          • z=3(22+22i)z=3(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i)
          • Or 22=cos⁡(π4)=sin⁡(π4)\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos(\frac{\pi}{4})=\sin(\frac{\pi}{4})
          • donc l'écriture trigonométrique de zz est : 3(cos⁡(π4)+isin⁡(π4))3(\cos(\frac{\pi}{4})+i\sin(\frac{\pi}{4})) et ∣z∣=3|z|=3.

    • DNotation exponentielle

      • Définition

        Notation exponentielle d'un nombre

        Soit θ\theta un réel.
        • eiθ=cos⁡(θ)+isin⁡(θ)e^{i\theta} = \cos(\theta) + i \sin(\theta)

      • Définition

        Notation exponentielle d'un nombre complexe

        Soit zz un nombre complexe de module rr et d'argument θ+2kπ\theta+2k\pi.
        • z=reiθz = r e^{i \theta}

      • Exemple

        • i=eiπ2i = e^{i \frac{\pi}{2}}
        • 1+i=2(cos⁡(π4)+isin⁡(π4))=2eiπ41+i = \sqrt{2}(\cos(\frac{\pi}{4}) + i \sin(\frac{\pi}{4})) = \sqrt{2} e^{i \frac{\pi}{4}}

      • Propriété

        Opérations sur les exponentielles

        Soit θ\theta et θ′\theta' deux nombres réels.
        • eiθ×eiθ′=ei(θ+θ′)e^{i \theta} \times e^{i \theta'} = e^{i(\theta + \theta')}
        • 1eiθ=e−iθ\frac{1}{e^{i \theta}} = e^{-i \theta}
        • eiθeiθ′=ei(θ−θ′)\frac{e^{i \theta}}{e^{i \theta'}} = e^{i (\theta-\theta'})
        • (eiθ)n=einθ(e^{i\theta})^n = e^{i n \theta} pour tout entier nn.

      • Propriété

        Relation entre cosinus, sinus et notation exponentielle

        Soit θ\theta un nombre réel.
        • e−iθ=cos⁡(θ)−isin⁡(θ)e^{-i \theta}=\cos(\theta)-i \sin(\theta)
        • cos⁡(θ)=eiθ+e−iθ2\cos(\theta)= \frac{e^{i \theta}+e^{-i \theta}}{2}
        • sin⁡(θ)=eiθ−e−iθ2i\sin(\theta)= \frac{e^{i \theta}-e^{-i \theta}}{2i}
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