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Formules et Théorèmes
1
Forme algébrique
2
Nombres complexes et géométrie
3
Cas d'application des nombres complexes
À savoir refaire
1
Forme algébrique

    • ANombres complexes et forme algébrique

      • Propriété

        Nombre ii

        Il existe un nombre noté ii vérifiant :
        • i2=−1i^2 = -1

      • Propriété

        Ensemble des nombres complexes

        • Il existe un ensemble de nombres, noté CC, qui contient RR et ii.
        • On l'appelle ensemble des nombres complexes.

      • Propriété

        Opérations sur les nombres complexes

        • De même que pour les nombres réels, on peut additionner, multiplier, soustraire des nombres complexes, et diviser par un nombre complexe non nul.
        • Les règles de calcul sont les mêmes que dans RR (factorisation, développement, identités remarquables, etc.)

      • Exemple

        (5×i+2×i)×i=(5+2)×i×i=7×i2=−7(5 \times i + 2 \times i ) \times i = (5+2) \times i \times i = 7 \times i^2 = -7

      • Définition

        Forme algébrique, partie réelle et partie imaginaire

        • Soit zz un nombre complexe. Il existe un unique couple de réels (a,b)(a,b) tel que z=a+ibz = a+ib.
        • Cette écriture est appelée forme algébrique de zz.
          • aa est la partie réelle de zz, notée Re(z)Re(z).
          • bb est la partie imaginaire de zz, notée Im(z)Im(z).

      • Exemple

        Soit z=5+32iz = 5 + \frac{3}{2} i.
        • Donc Re(z)=5Re(z) = 5 et Im(z)=32Im(z) = \frac{3}{2}.

      • Remarque

        Forme algébrique d'un nombre réel

        • Pour un nombre réel xx, la forme algébrique de xx est : x=x+0×ix=x+0 \times i ; donc Re(x)=xRe(x) = x et Im(x)=0Im(x) =0.

      • Remarque

        Unicité de la forme algébrique

        Soient aa, a′a', bb et b′b' des réels.
        • Si a+ib=a′+ib′a+ib = a'+ib', alors a=a′a=a' et b=b′b=b'.

    • BConjugué et module de nombres complexes

      • Définition

        Conjugué d'un nombre complexe

        Soit zz un nombre complexe dont la forme algébrique est z=a+ibz=a+ib, où aa et bb sont des réels.
        • zˉ=a−ib\bar{z} = a-ib est le nombre complexe conjugué de zz.

      • Exemple

        Soit z=1+3iz = 1+3i.
        • Alors zˉ=1−3i\bar{z} = 1-3i

      • Propriété

        Propriétés de calcul des nombres conjugués

        Soit zz un nombre complexe défini par z=a+ibz = a+ib avec aa, bb réels.
        • zzˉ=a2+b2z \bar{z} = a^2+b^2
        • Si b=0b=0, alors zz est réel et z=zˉz = \bar{z}.
        • Si a=0a=0, alors zz est un imaginaire pur et z=−zˉz = - \bar{z}.

      • Propriété

        Conjugué de somme, produit et quotient de nombres complexes

        Soient zz et z′z' deux nombres complexes.
        • z+z′‾=zˉ+z′ˉ\overline{z+z'} = \bar{z} + \bar{z'}
        • z×z′‾=zˉ×z′ˉ\overline{z \times z'} = \bar{z} \times \bar{z'}
        • (zz′)‾=zˉz′ˉ\overline{\left(\frac{z}{z'}\right)} = \frac{\bar{z}}{\bar{z'}}, si z′≠0z' \neq 0

      • Exemple

        • (13+2i)‾=1ˉ3+2i‾=13−2i\overline{\left(\frac{1}{3+2i}\right)} = \frac{\bar{1}}{\overline{3+2i}} = \frac{1}{3-2i}

      • Définition

        Module d'un nombre complexe

        Soit zz un nombre complexe dont la forme algébrique est z=a+ibz = a+ib où aa et bb sont réels.
        • On appelle ∣z∣|z| le module de zz.
        • ∣z∣=zzˉ=a2+b2|z| = \sqrt{z \bar{z}} = \sqrt{a^2+b^2}

      • Remarque

        Module d'un nombre réel

        • Lorsque xx est réel, son module est ∣x∣=x2|x| = \sqrt{x^2} ce qui correspond à sa valeur absolue, notée de la même manière.
        • On peut donc considérer que le module généralise la notion de valeur absolue aux nombres complexes.

      • Propriété

        Module et opérations

        Soit zz et z′z' deux nombres complexes.
        • ∣zn∣=∣z∣n| z^n | = |z|^n
        • ∣zz′∣=∣z∣∣z′∣| z z' | = |z| |z'|
        • ∣zz′∣=∣z∣∣z′∣|\frac{z}{z'}| = \frac{|z|}{|z'|}, si z' n'est pas nul
        • ∣z+z′∣≤∣z∣+∣z′∣|z+z'| \leq |z| + |z'|

      • Exemple

        • ∣23+4i∣=∣2∣∣3+4i∣=232+42=225=25|\frac{2}{3+4i}| = \frac{|2|}{|3+4i|} = \frac{2}{\sqrt{3^2+4^2}} = \frac{2}{\sqrt{25}} = \frac{2}{5}
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