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0 pts
Formules et Théorèmes
1
Forme algébrique
2
Nombres complexes et géométrie
3
Cas d'application des nombres complexes
À savoir refaire
À savoir refaire
Mettre un quotient sous forme algébrique
Mets
4
+
i
2
−
3
i
\frac{4+i}{2-3i}
2
−
3
i
4
+
i
sous forme algébrique.
0
0
Traduire l'énoncé
Mettre
4
+
i
2
−
3
i
\frac{4+i}{2-3i}
2
−
3
i
4
+
i
sous forme algébrique revient à trouver les réels
a
a
a
et
b
b
b
tels que
4
+
i
2
−
3
i
=
a
+
i
b
\frac{4+i}{2-3i} = a+ib
2
−
3
i
4
+
i
=
a
+
ib
.
Il faut donc notamment ne plus avoir de
i
i
i
au dénominateur.
1
1
Multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur
On fait ainsi apparaître le module du dénominateur au carré :
4
+
i
2
−
3
i
=
(
4
+
i
)
(
2
+
3
i
)
(
2
−
3
i
)
(
2
+
3
i
)
\frac{4+i}{2-3i} = \frac{(4+i)(2+3i)}{(2-3i)(2+3i)}
2
−
3
i
4
+
i
=
(
2
−
3
i
)
(
2
+
3
i
)
(
4
+
i
)
(
2
+
3
i
)
Or le cours nous dit que
z
z
ˉ
=
a
2
+
b
2
z \bar{z} = a^2 + b^2
z
z
ˉ
=
a
2
+
b
2
lorsque
z
=
a
+
i
b
z = a+ib
z
=
a
+
ib
.
Donc
(
2
−
3
i
)
(
2
+
3
i
)
=
2
2
+
3
2
=
13
(2-3i)(2+3i) = 2^2+3^2 = 13
(
2
−
3
i
)
(
2
+
3
i
)
=
2
2
+
3
2
=
13
Donc
4
+
i
2
−
3
i
=
(
4
+
i
)
(
2
+
3
i
)
13
\frac{4+i}{2-3i} = \frac{(4+i)(2+3i)}{13}
2
−
3
i
4
+
i
=
13
(
4
+
i
)
(
2
+
3
i
)
2
2
Développer le numérateur et le mettre sous forme algébrique
4
+
i
2
−
3
i
=
(
4
+
i
)
(
2
+
3
i
)
13
=
4
×
2
+
i
×
2
+
4
×
3
i
+
i
×
3
i
13
=
5
+
14
i
13
\frac{4+i}{2-3i} = \frac{(4+i)(2+3i)}{13} = \frac{4 \times 2 + i \times 2 + 4 \times 3i + i \times 3i}{13} = \frac{5+14i}{13}
2
−
3
i
4
+
i
=
13
(
4
+
i
)
(
2
+
3
i
)
=
13
4
×
2
+
i
×
2
+
4
×
3
i
+
i
×
3
i
=
13
5
+
14
i
3
3
Conclure
On a donc obtenu la forme algébrique :
4
+
i
2
−
3
i
=
5
13
+
i
14
13
\frac{4+i}{2-3i} = \frac{5}{13} + i\frac{14}{13}
2
−
3
i
4
+
i
=
13
5
+
i
13
14
Passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique ou à la forme exponentielle
Écris
z
=
1
+
i
3
z = 1+i\sqrt{3}
z
=
1
+
i
3
sous formes trigonométrique et exponentielle.
0
0
Traduire l'énoncé
Écrire
z
z
z
sous forme algébrique revient à trouver le module
r
r
r
et l'argument
θ
\theta
θ
de
z
z
z
tels que
z
=
r
(
cos
(
θ
)
+
i
sin
(
θ
)
)
z = r(\cos(\theta)+i\sin(\theta))
z
=
r
(
cos
(
θ
)
+
i
sin
(
θ
))
.
1
1
Calculer le module de
z
z
z
∣
z
∣
=
1
2
+
(
3
)
2
=
4
=
2
|z| = \sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2
∣
z
∣
=
1
2
+
(
3
)
2
=
4
=
2
2
2
Calculer l'argument à l'aide des formules du cours
D'après le cours :
R
e
(
z
)
=
r
cos
(
θ
)
Re(z) = r\cos(\theta)
R
e
(
z
)
=
r
cos
(
θ
)
donc
cos
(
θ
)
=
R
e
(
z
)
r
\cos(\theta) = \frac{Re(z)}{r}
cos
(
θ
)
=
r
R
e
(
z
)
;
donc ici :
cos
(
θ
)
=
1
2
\cos(\theta) = \frac{1}{2}
cos
(
θ
)
=
2
1
De même,
I
m
(
z
)
=
r
sin
(
θ
)
Im(z) = r\sin(\theta)
I
m
(
z
)
=
r
sin
(
θ
)
donc
sin
(
θ
)
=
I
m
(
z
)
r
\sin(\theta) = \frac{Im(z)}{r}
sin
(
θ
)
=
r
I
m
(
z
)
;
donc ici :
sin
(
θ
)
=
3
2
\sin(\theta) = \frac{\sqrt{3}}{2}
sin
(
θ
)
=
2
3
3
3
Reconnaître des valeurs remarquables de
cos
\cos
cos
et
sin
\sin
sin
On reconnaît des valeurs particulières de
cos
\cos
cos
et
sin
\sin
sin
.
cos
(
π
3
)
=
1
2
\cos(\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2}
cos
(
3
π
)
=
2
1
sin
(
π
3
)
=
3
2
\sin(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}
sin
(
3
π
)
=
2
3
Donc
θ
=
π
3
+
2
k
π
\theta = \frac{\pi}{3} + 2k\pi
θ
=
3
π
+
2
kπ
où
k
k
k
est un entier relatif.
4
4
Conclure
r
=
2
r=2
r
=
2
et
θ
=
π
3
+
2
k
π
\theta = \frac{\pi}{3} + 2k\pi
θ
=
3
π
+
2
kπ
.
La forme trigonométrique de
z
z
z
est :
z
=
2
(
cos
(
π
3
)
+
i
sin
(
π
3
)
)
z = 2(\cos(\frac{\pi}{3})+i\sin(\frac{\pi}{3}))
z
=
2
(
cos
(
3
π
)
+
i
sin
(
3
π
))
La notation exponentielle de
z
z
z
est :
z
=
2
e
i
π
3
z = 2 e^{i\frac{\pi}{3}}
z
=
2
e
i
3
π
Déterminer un ensemble de points du plan dont les affixes vérifient une équation donnée
Détermine la nature de l'ensemble des points du plan dont les affixes
z
z
z
vérifient
∣
z
−
1
∣
∣
z
−
i
∣
=
1
\frac{|z-1|}{|z-i|} = 1
∣
z
−
i
∣
∣
z
−
1∣
=
1
.
0
0
Interpréter géométriquement les composantes de l'équation
Dans l'équation,
∣
z
−
1
∣
|z-1|
∣
z
−
1∣
est la longueur entre le point d'affixe
z
z
z
et le point
A
A
A
d'affixe
1
1
1
.
De même,
∣
z
−
i
∣
|z-i|
∣
z
−
i
∣
est la longueur entre le point d'affixe
z
z
z
et le point
B
B
B
d'affixe
i
i
i
.
1
1
Traduire géométriquement l'équation
En remplaçant, on doit donc trouver les points
M
M
M
vérifiant :
A
M
B
M
=
1
\frac{AM}{BM} = 1
BM
A
M
=
1
soit
A
M
=
B
M
AM=BM
A
M
=
BM
.
Ce sont donc l'ensemble des points équidistants de A et B.
Ces points forment une droite, il s'agit de la médiatrice de
[
A
B
]
[AB]
[
A
B
]
.
Déterminer par le calcul un ensemble de points du plan dont les affixes vérifient une équation donnée
Détermine la nature de l'ensemble des points d'affixe
z
z
z
vérifiant
R
e
(
z
−
1
z
−
i
)
=
0
Re(\frac{z-1}{z-i}) = 0
R
e
(
z
−
i
z
−
1
)
=
0
.
0
0
Écrire z sous sa forme algébrique
On pose
z
=
x
+
i
y
z=x+iy
z
=
x
+
i
y
, où
x
x
x
et
y
y
y
sont réels.
On cherche donc à résoudre
R
e
(
x
+
i
y
−
1
x
+
i
y
−
i
)
=
0
Re(\frac{x+iy-1}{x+iy-i}) = 0
R
e
(
x
+
i
y
−
i
x
+
i
y
−
1
)
=
0
.
1
1
Mettre l'équation sous forme algébrique
Or
x
+
i
y
−
1
x
+
i
y
−
i
=
x
−
1
+
i
y
x
+
i
(
y
−
1
)
=
(
x
−
1
+
i
y
)
(
x
−
i
(
y
−
1
)
)
(
x
+
i
(
y
−
1
)
)
(
x
−
i
(
y
−
1
)
)
\frac{x+iy-1}{x+iy-i} = \frac{x-1+iy}{x+i(y-1)} = \frac{(x-1+iy)(x-i(y-1))}{(x+i(y-1))(x-i(y-1))}
x
+
i
y
−
i
x
+
i
y
−
1
=
x
+
i
(
y
−
1
)
x
−
1
+
i
y
=
(
x
+
i
(
y
−
1
))
(
x
−
i
(
y
−
1
))
(
x
−
1
+
i
y
)
(
x
−
i
(
y
−
1
))
x
+
i
y
−
1
x
+
i
y
−
i
=
x
(
x
−
1
)
+
y
(
y
−
1
)
+
i
(
y
x
−
(
x
−
1
)
(
y
−
1
)
)
x
2
+
(
y
−
1
)
2
\frac{x+iy-1}{x+iy-i} = \frac{x(x-1)+y(y-1)+i(yx-(x-1)(y-1))}{x^2+(y-1)^2}
x
+
i
y
−
i
x
+
i
y
−
1
=
x
2
+
(
y
−
1
)
2
x
(
x
−
1
)
+
y
(
y
−
1
)
+
i
(
y
x
−
(
x
−
1
)
(
y
−
1
))
On en déduit ainsi :
R
e
(
z
−
1
z
−
i
)
=
x
(
x
−
1
)
+
y
(
y
−
1
)
x
2
+
(
y
−
1
)
2
Re(\frac{z-1}{z-i}) = \frac{x(x-1)+y(y-1)}{x^2+(y-1)^2}
R
e
(
z
−
i
z
−
1
)
=
x
2
+
(
y
−
1
)
2
x
(
x
−
1
)
+
y
(
y
−
1
)
2
2
Faire apparaître l'équation d'une forme géométrique simple (droite, cercle)
D'après ce qui précède :
R
e
(
z
−
1
z
−
i
)
=
0
Re(\frac{z-1}{z-i}) = 0
R
e
(
z
−
i
z
−
1
)
=
0
si et seulement si
x
(
x
−
1
)
+
y
(
y
−
1
)
x
2
+
(
y
−
1
)
2
=
0
\frac{x(x-1)+y(y-1)}{x^2+(y-1)^2} = 0
x
2
+
(
y
−
1
)
2
x
(
x
−
1
)
+
y
(
y
−
1
)
=
0
.
Or
x
2
+
(
y
−
1
)
2
>
0
x^2+(y-1)^2>0
x
2
+
(
y
−
1
)
2
>
0
Donc
R
e
(
z
−
1
z
−
i
)
=
0
Re(\frac{z-1}{z-i}) = 0
R
e
(
z
−
i
z
−
1
)
=
0
si et seulement si
x
(
x
−
1
)
+
y
(
y
−
1
)
=
0
x(x-1)+y(y-1) = 0
x
(
x
−
1
)
+
y
(
y
−
1
)
=
0
.
En développant cette expression, on obtient :
x
(
x
−
1
)
+
y
(
y
−
1
)
=
x
2
−
x
+
y
2
−
y
x(x-1)+y(y-1) = x^2-x+y^2-y
x
(
x
−
1
)
+
y
(
y
−
1
)
=
x
2
−
x
+
y
2
−
y
On se rend compte qu'on retombe presque les identités remarquables
(
x
−
1
2
)
2
=
x
2
−
x
+
1
4
(x-\frac{1}{2})^2=x^2-x+\frac{1}{4}
(
x
−
2
1
)
2
=
x
2
−
x
+
4
1
et
(
y
−
1
2
)
2
=
y
2
−
y
+
1
4
(y-\frac{1}{2})^2=y^2-y+\frac{1}{4}
(
y
−
2
1
)
2
=
y
2
−
y
+
4
1
.
On obtient donc :
x
2
−
x
+
y
2
−
y
=
(
x
−
1
2
)
2
−
1
4
+
(
y
−
1
2
)
2
−
1
4
x^2-x+y^2-y = (x-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}+(y-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}
x
2
−
x
+
y
2
−
y
=
(
x
−
2
1
)
2
−
4
1
+
(
y
−
2
1
)
2
−
4
1
D'où
x
(
x
−
1
)
+
y
(
y
−
1
)
=
(
x
−
1
2
)
2
+
(
y
−
1
2
)
2
−
1
2
x(x-1)+y(y-1) = (x-\frac{1}{2})^2+(y-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{2}
x
(
x
−
1
)
+
y
(
y
−
1
)
=
(
x
−
2
1
)
2
+
(
y
−
2
1
)
2
−
2
1
D'où
R
e
(
z
−
1
z
−
i
)
=
0
Re(\frac{z-1}{z-i}) = 0
R
e
(
z
−
i
z
−
1
)
=
0
si et seulement si
(
x
−
1
2
)
2
+
(
y
−
1
2
)
2
−
1
2
=
0
(x-\frac{1}{2})^2+(y-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{2} = 0
(
x
−
2
1
)
2
+
(
y
−
2
1
)
2
−
2
1
=
0
Donc
R
e
(
z
−
1
z
−
i
)
=
0
Re(\frac{z-1}{z-i}) = 0
R
e
(
z
−
i
z
−
1
)
=
0
si et seulement si
(
x
−
1
2
)
2
+
(
y
−
1
2
)
2
=
1
2
(x-\frac{1}{2})^2+(y-\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{2}
(
x
−
2
1
)
2
+
(
y
−
2
1
)
2
=
2
1
.
3
3
Conclure
On note alors
S
S
S
le point de coordonnées
(
1
2
,
1
2
)
(\frac{1}{2},\frac{1}{2})
(
2
1
,
2
1
)
et
R
=
1
2
R = \frac{1}{\sqrt{2}}
R
=
2
1
.
Soit
M
M
M
un point vérifiant la condition de l'énoncé.
Alors d'après le cours
S
M
=
(
x
−
1
2
)
2
+
(
y
−
1
2
)
2
=
1
2
=
R
SM = \sqrt{(x-\frac{1}{2})^2+(y-\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{\sqrt{2}}} = R
SM
=
(
x
−
2
1
)
2
+
(
y
−
2
1
)
2
=
2
1
=
R
Les points
M
M
M
solutions vérifient donc :
S
M
=
R
SM =R
SM
=
R
L'équation décrit donc un cercle de centre
S
S
S
et de rayon
R
R
R
.
Résoudre une équation du second degré dans
C
C
C
Résous dans
C
C
C
l'équation
z
2
+
2
z
+
3
=
0
z^2+2z+3 = 0
z
2
+
2
z
+
3
=
0
.
0
0
Calculer le discriminant
Le discriminant vaut :
Δ
=
2
2
−
4
×
3
=
−
8
<
0
\Delta = 2^2-4 \times 3 = -8<0
Δ
=
2
2
−
4
×
3
=
−
8
<
0
L'équation possède deux solutions complexes conjuguées.
1
1
Calculer les solutions
D'après le cours, les solutions sont donc :
−
2
−
i
8
2
\frac{-2-i\sqrt{8}}{2}
2
−
2
−
i
8
et
−
2
+
i
8
2
\frac{-2+i\sqrt{8}}{2}
2
−
2
+
i
8
En simplifiant, les solutions sont
−
1
+
i
2
-1+i\sqrt{2}
−
1
+
i
2
et
−
1
+
i
2
-1+i\sqrt{2}
−
1
+
i
2
.
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