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À savoir refaire
1
Rappels sur les fonctions sinus et cosinus
2
Étude de la fonction sinus
3
Étude de la fonction cosinus
2
Étude de la fonction sinus
Propriété
Parité et périodicité de la fonction sinus
Soit
x
x
x
un réel. La fonction
sin
\sin
sin
est :
impaire
:
sin
(
−
x
)
=
−
sin
(
x
)
\sin(-x)=-\sin(x)
sin
(
−
x
)
=
−
sin
(
x
)
2
π
2\pi
2
π
-périodique
:
sin
(
x
+
2
π
)
=
sin
(
x
)
\sin(x+2\pi) = \sin(x)
sin
(
x
+
2
π
)
=
sin
(
x
)
Exemple
sin
(
−
π
3
)
=
−
sin
(
π
3
)
=
−
3
2
\sin \left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\sin \left(\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}
sin
(
−
3
π
)
=
−
sin
(
3
π
)
=
−
2
3
sin
(
7
π
3
)
=
sin
(
π
3
+
2
π
)
=
sin
(
π
3
)
=
3
2
\sin \left(\frac{7\pi}{3}\right)=\sin \left(\frac{\pi}{3}+2\pi \right)=\sin \left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}
sin
(
3
7
π
)
=
sin
(
3
π
+
2
π
)
=
sin
(
3
π
)
=
2
3
Remarque
Lorsqu'une fonction est impaire, sa représentation graphique présente une symétrie par rapport à
l'origine
. Cela permet d'en faciliter l'étude.
Propriété
Dérivée de la fonction sinus
La fonction
sin
\sin
sin
est continue et dérivable sur
R
R
R
.
sin
′
=
cos
\sin'=\cos
sin
′
=
cos
Propriété
Tableau de variation de la fonction sinus
La fonction
sin
\sin
sin
étant
2
π
2\pi
2
π
-périodique, il suffit de l'étudier sur l'intervalle
[
0
;
2
π
]
[0;2\pi]
[
0
;
2
π
]
pour connaître son comportement sur
R
R
R
.
Propriété
Tangente en
0
0
0
En appliquant la définition du nombre dérivé à
sin
\sin
sin
en
0
0
0
, on reconnaît la limite suivante :
lim
x
→
0
=
sin
(
x
)
x
=
sin
′
(
0
)
=
cos
(
0
)
=
1
\lim_{x \to 0} = \frac{\sin(x)}{x}=\sin'(0)=\cos(0)=1
lim
x
→
0
=
x
s
i
n
(
x
)
=
sin
′
(
0
)
=
cos
(
0
)
=
1
Propriété
Dérivée de
sin
(
a
x
+
b
)
\sin(ax+b)
sin
(
a
x
+
b
)
Soient
a
a
a
et
b
b
b
des réels.
La fonction définie sur
R
R
R
par
sin
(
a
x
+
b
)
\sin(ax+b)
sin
(
a
x
+
b
)
est continue et dérivable sur
R
R
R
.
En appliquant le théorème des dérivées de fonctions composées, on obtient pour tout réel
x
x
x
:
sin
′
(
a
x
+
b
)
=
a
cos
(
a
x
+
b
)
\sin'(ax+b)=a \cos(ax+b)
sin
′
(
a
x
+
b
)
=
a
cos
(
a
x
+
b
)
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