• $\cos$ étant $2\pi$-périodique, on peut restreindre l’étude à $[-\pi;\pi]$ dans un premier temps.  
• En pointant l’abscisse $\frac{1}{2}$ sur l’axe des abscisses et en se projetant sur le cercle trigonométrique, on constate que les solutions sur $[-\pi;\pi]$ sont :
• $x= \frac{\pi}{3}$ et $x=-\frac{\pi}{3}$

•  $\cos$ étant $2\pi$-périodique, on peut désormais résoudre l’équation dans $R$ en « ajoutant $2\pi$ » aux résultats obtenus.  
• Ainsi, l’équation se vérifie dans $R$ pour tout $x$ de la forme :
• $x= \frac{\pi}{3}+2k\pi$ ou $x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi$, avec $k$ un entier relatif.

Encore une fois, $\cos$ étant $2\pi$-périodique, on peut commencer par lire le cercle trigonométrique en prenant le cas simple où $k=0$.  

• Si on regarde les $x$ tels que $-\frac{\pi}{3} < x < \frac{\pi}{3}$
  • on voit en se projetant sur l’axe des abscisses que $\cos(x)>\frac{1}{2}$

 

• Si on regarde les $x$ tels que $x<-\frac{\pi}{3}$ ou $x>\frac{\pi}{3}$
  • on voit en se projetant sur l’axe des abscisses que $\cos(x)<\frac{1}{2}$

  $\cos$ étant $2\pi$-périodique, on peut généraliser ces résultats en « ajoutant $2k\pi$ » aux résultats obtenus.

Ainsi, l’équation est vérifiée si et seulement si il existe un entier $k$ tels que :

• $\frac{\pi}{3} +2k\pi < x < -\frac{\pi}{3} + 2(k+1)\pi$

• $\cos$ étant $2\pi$-périodique, on peut restreindre l’étude à $[-\pi;\pi]$ dans un premier temps.
• En pointant l'ordonnée $\frac{1}{2}$ et en se projetant sur la courbe représentative de $\cos$, on constate que les solutions sur $[-\pi;\pi]$ sont :
• $x= \frac{\pi}{3}$ et $x=-\frac{\pi}{3}$

• $\cos$ étant $2\pi$-périodique, on peut désormais résoudre l’équation dans $R$ en « ajoutant $2\pi$ » aux résultats obtenus.
• Ainsi, l’équation se vérifie dans $R$ pour tout $x$ de la forme :
• $x= \frac{\pi}{3}+2k\pi$ ou $x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi$, avec $k$ un entier relatif.

Encore une fois, $\cos$ étant $2\pi$-périodique, on peut commencer par lire la représentation graphique de $\cos$ en prenant le cas simple où $k=0$.  

• Si on regarde les $x$ tels que $x \in \left[-\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{3}\right]$
  • on voit en se projetant sur la courbe représentative de $\cos$ que $\cos(x)>\frac{1}{2}$

• Si on regarde les $x$ tels que $x \in \left[-\pi;\frac{\pi}{3}\right]$ ou $x \in \left[\frac{\pi}{3};\pi \right]$
  • on voit en se projetant sur la courbe représentative de $\cos$ que $\cos(x)<\frac{1}{2}$

  $\cos$ étant $2\pi$-périodique, on peut généraliser ces résultats en « ajoutant $2k\pi$ » aux résultats obtenus.

Ainsi, l'équation est vérifiée si et seulement si il existe un entier $k$ tel que :

• $x \in \left[-\frac{\pi}{3}+2k\pi;\frac{\pi}{3}+2k\pi\right]$

Pour $x$ réel, comme $\cos(x) \geq -1$, on déduit que $\cos(x) +2 \geq 1$ et donc que le dénominateur de la fonction n'est jamais nul.

• $f$ est donc bien définie sur $R$.

• $\cos$ est paire donc $f$ aussi. En effet, pour tout réel $x$ :
  • $f(-x) = \frac{\cos(-x)}{2+\cos(-x)} = \frac{\cos(x)}{2+\cos(x)} = f(x)$
• $\cos$ est $2\pi$ périodique donc $f$ aussi. En effet, pour tout réel $x$ :
  • $f(x+2k\pi) = \frac{\cos(x + 2k\pi)}{2+\cos(x+2k\pi)} = \frac{\cos(x)}{2+\cos(x)} = f(x)$

La périodicité de $f$ va nous permettre de restreindre l'étude au domaine $[-\pi;\pi]$.
Mais commençons par calculer la dérivée pour avoir les variations de $f$ !

Il faut toujours commencer par s'assurer que $f$ est dérivable.

• $x \mapsto \cos(x)+2$ ne s’annule pas et est par définition dérivable sur $R$, tout comme $x \mapsto cos(x)$.
• $f$ est donc dérivable sur $R$.

Calculons maintenant la dérivée.

• Pour tout réel $x$, en utilisant la formule de dérivation d'un quotient de fonctions :
• $f'(x) =\frac{-\sin(x)(\cos(x) + 2)-\cos(x) \times (-\sin(x))}{(\cos(x)+2)^2} =-2 \frac{\sin(x)}{(\cos(x)+2)^2}$

$f$ étant $2\pi$-périodique, on se limite à l'étudier sur l'intervalle $[0;2\pi]$.

• $(\cos(x)+2)^2>0$ pour tout $x \in [0;2\pi]$.
• Donc $f'$ est du signe opposé à $sin$ pour tout réel $x$.
• On obtient donc le tableau de signe et le tableau de variation suivant :

Astuce n°1 : quand tu dois calculer des limites il faut toujours essayer d'avoir une intuition. 

• Ici, on voit bien que quand $x$ sera très grand, $x^2$ sera très très grand, alors que $sin(x)$ restera compris entre -1 et 1.
• Donc la somme des deux sera forcément très très grande aussi.
• Donc il y a de bonnes chances que $\lim_{x \to +\infty} \sin(x) + x^2=+\infty$

Astuce n°2 : quand tu dois calculer des limites avec des $\cos$ et des $\sin$, essaie toujours d'encadrer ces fonctions par $-1$ et $1$. Cela peut très souvent te débloquer !

• Ici, comme notre intuition nous dit de démontrer que la limite est $+\infty$, on va surtout essayer de minorer $f$ par une autre fonction qui tend vers $+\infty$.
• On pourra alors utiliser le théorème de comparaison de limites !

• Dans ce cas précis, on peut minorer l'expression $\sin(x) + x^2$ à l'aide du fait que pour tout réel $x$ :
• $-1 \leq \sin(x)$

• En effet, cela permet de dire que pour tout réel $x$, on a :
• $-1 + x^2 \leq \sin(x) + x^2$

Il s'agit ici d’un polynôme de degré 2, dont on connaît la limite en $+\infty$ :

• $\lim_{x \to +\infty} -1 + x^2 = \lim_{x \to +\infty} x^2 = +\infty$

Comme $\sin(x) + x^2$ est minorée par une fonction qui tent vers $+\infty$ en $+\infty$, par comparaison on en déduit que :

• $\lim_{x \to +\infty} \sin(x) + x^2 = +\infty$