Soient $f$ et $g$ des fonctions continues sur un intervalle $I$.
Soient $a$, $b$, $c$ trois réels de $I$ et $k$ un réel quelconque.

• $\int_{a}^{a}f(x)dx=0$
• $\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx$
• $\int_{a}^{b}kf(x)dx=k\int_{a}^{b}f(x)dx$
• $\int_{a}^{b}(f(x)+g(x))dx=\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{a}^{b}g(x)dx$

$\int_0^2 \ 2x+3x^2 \ dx=\int_0^2 \ 2xdx+\int_0^23x^2 \ dx$
$=[x^2]_0^2+[x^3]_0^2=4+8=12$
$=[x^2+x^3]_0^2$

Par contre, $\int_0^2 \ 3x^2 \ dx=\int_0^2 \ 3x \times x \ dx\ne \int_0^2 \ 3xdx \times \int_0^2 x \ dx$.
En effet :

• $\int_0^2 \ 3x^2 \ dx=[x^3]_0^2=8$
• $\int_0^2 \ 3xdx \times \int_0^2 x \ dx=[\frac {3x^2}{2}]_0^2 \times [\frac {x^2}{2}]_0^2=6\times2=12$

Soient $a$, $b$ et $c$ trois réel et $f$ une fonction continue sur $[a;b]$.

• $\int_{a}^{c}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{b}^{c}f(x)dx$

Soient $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$.
Soient $a$ et $b$ appartenant à $I$ tels que $a\leq b$.

• Si pour tout $x$ de $[a;b]$, $f(x) \geq 0$, alors $\int_{a}^{b}f(x)dx \geq 0$.

Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a<b$. Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a;b]$.

• Si pour tout $x \in [a;b]$, $f(x) \leq g(x)$, alors $\int^{b}_{a}f(x)dx \leq \int^{b}_{a}g(x)dx$.

Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a \neq b$. Soit $f$ une fonction continue sur $[a;b]$.
On appelle valeur moyenne $m$ de $f$ sur $[a;b]$ le résultat suivant :

• $m = \frac{1}{b-a} \int_a^bf(x)dx$

Calculons la moyenne de la fonction carrée entre $-1$ et $3$.

• $m = \frac{1}{3-(-1)} \int_{-1}^3x^2dx=\frac{1}{4}\left[\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^3=\frac{1}{4}\left[\frac{9}{3}+\frac{1}{3}\right]=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}$

• La valeur moyenne de la fonction carré entre $-1$ et $3$ est donc $\frac{5}{6}$.

• Cela permet par exemple de calculer la vitesse moyenne d'un véhicule dont on a l'expression mathématique de la vitesse au cours du temps.
• Il faut rapprocher cette formule de celle de la moyenne de données discrètes.

En effet, quand tu veux faire la moyenne de tes notes sur l'année, tu fais l'opération suivante :

• $m = \frac{\text{note}_1+\text{note}_2+...+\text{note}_n}{n}$

Tu divises la somme de tes notes par le nombre de notes.Le principe ici est le même : on « somme » toutes les valeurs prises par $f$, et on divise par la longueur de l'intervalle sur lequel on a sommé : $b-a$