Soient $a$ et $b$ deux réels, $f$ une fonction continue sur $[a;b]$. Soit $F$ une primitive quelconque de $f$ sur $[a;b]$.

• $\int^{b}_{a}f(x)dx=F(b)-F(a)$
• On note $F(b)-F(a) = [F(x)]^b_a$

Soient $a$ et $b$ deux réels, $f$ une fonction continue sur $[a;b]$.
Soient $G$ et $H$ deux primitives de $f$ distinctes.
La valeur de l'intégrale ne dépend pas de la primitive choisie. C'est-à-dire :

• $\int_a^b f(x)dx = G(b)-G(a)=H(b)-H(a)$

Calculons la même intégrale que dans l'exemple précédent, en choisissant une autre primitive.

• $\int^{2}_{-1}2x \ dx = [x^2+2]_{-1}^{2}=2^2+2-((-1)^2+2)=2^2-(-1)^2+2-2=3$

La constante s'annule d'elle-même et on retombe bien sur le même résultat.

Soient $a$ et $b$ deux réels. Soit $f$ une fonction continue sur l'intervalle $[a;b]$.
Soit $F$ définie pour tout $x\in [a;b]$ par :

• $F(x)=\int^{x}_{a}f(t)dt$
• $F$ est la primitive de $f$ sur $[a;b]$ qui s'annule en $a$.

$F$ a les propriétés suivantes :

• $F$ est dérivable sur $[a;b]$,
• $F(a)=0$,
• pour tout $x \in [a;b]$,  $F'(x)=f(x)$.

Cherchons la primitive $F$ de $f: x\to2x$ s'annulant en 5.

• $F(x)=\int_5^x2t \ dt=[t^2]_5^x=x^2-25$

On vérifie facilement que $F$ est bien une primitive de $f$ et qu'elle vaut $0$ en $5$.

Attention, ici $x$ n'est pas une variable muette : comme $x$ est dans une des bornes de l'intervalle, $x$ est encore présent dans le résultat, contrairement à $t$ qui est la variable muette d'intégration.