On appelle primitive de $f$ sur $I$ une fonction $F$  telle que pour tout $x \in I$ :

• $F'(x)=f(x)$.

La notion de primitive est donc « l'inverse » de la notion de dérivée.

$F: x\mapsto x^2$ a pour dérivée $f: x\mapsto 2x$ sur $R$
Donc on dit que $F: x\mapsto x^2$ est une primitive de $f: x\mapsto 2x$, sur $R$.

Toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet des primitives sur cet intervalle.

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.
Soit $F$ une primitive de $f$ sur $I$.
Pour tout réel $c$ :

• $x \mapsto F(x)+c$ est aussi une primitive de $f$.
• On dit que $f$ admet « une infinité de primitives » sur $I$.

Soit $x_0$ et $y_0$ deux nombres réels.
Soit $f$ une fonction continue sur $I$.

• Il existe une unique primitive $F_0$ de $f$ telle que $F_0(x_0)=y_0$.

On retiendra qu'une fonction n'admet jamais une unique primitive : il faut imposer une condition supplémentaire pour avoir l'unicité.

Soient $F$, $G$ et $H$ trois fonctions définies sur $R$, respectivement par $F(x)=x^2$, $G(x)=x^2+1$ et $H(x)=x^2+2$.  
Pour tout réel $x$ :

• $F'(x)=G'(x)=H'(x)=2x$.
• $F$, $G$ et $H$ sont donc toutes trois des primitives de $f : x \mapsto 2x$ sur $R$.
• En revanche $F$ est la seule primitive de $f$ qui vaut $0$ en $0$.

En pratique, lorsqu'on cherche les primitives d'une fonction, on utilise notre connaissance des dérivées usuelles, dans l'autre sens.
 
Dans le tableau suivant, $n$ est un entier relatif et $a$ et $b$ sont des nombres réels.
 

Fonction	Primitives (pour tout réel $k$)	Domaine
$a$	$ax+k$	$R$
$x^n$ ($n \geq 1$)	$\frac{x^{n+1}}{n+1}+k$	$R$
$x^n$ ($n \leq -2$)	$\frac{x^{n+1}}{n+1}+k$	$]-\infty \ ; \ 0[$ ou $]0 \ ; \ +\infty[$
$\frac{1}{x}$	$\ln(x)+k$	$]0 \ ; \ +\infty[$
$\frac{1}{\sqrt x}$	$2\sqrt x+k$	$]0 \ ; \ +\infty[$
$\cos(x)$	$\sin(x)+k$	$R$
$\sin(x)$	$-\cos(x)+k$	$R$
$e^x$	$e^x+k$	$R$
$\cos(ax+b)$ ($a\ne 0$)	$\frac{1}{a}\sin(ax+b)$	$R$
$\sin(ax+b)$ ($a\ne 0$)	$-\frac{1}{a}\cos(ax+b)$	$R$

Parfois, les expressions sont plus compliquées, et le tableau précédent ne suffit pas.  

Dans le tableau suivant, $n$ est un entier relatif, $a$ et $b$ sont des nombres réels et $u$ et $v$ sont des fonctions dérivables sur $I$.
 

Fonction	Primitives (pour tout réel $k$)	Conditions
$u'(ax+b)$	$\frac{u(ax+b)}{a}+k$
$u'u^n$ ($n \geq 0$)	$\frac{u^{n+1}}{n+1}+k$
$u'u^n$ ($n \leq -2$)	$\frac{u^{n+1}}{n+1}+k$	pour tout $x$ de $I$, $u(x)\ne0$
$\frac {u'}{u}$	$\ln(u)+k$	pour tout $x$ de $I$, $u(x)>0$
$\frac {u'}{\sqrt{u}}$	$2\sqrt{u}+k$	pour tout $x$ de $I$, $u(x)>0$
$u'e^u$	$e^u+k$

Soit $f$ la fonction définie sur $R$ par $f(x)=2xe^{x^2}$.

• $f$ est de la forme $u'e^u$ avec $u(x)=x^2$ ». En effet, $x \mapsto 2x$ est bien la dérivée de $x \mapsto x^2$.
• Donc selon le tableau précédent, $f$ admet pour primitives les fonctions de la forme : $e^{x^2}+k$.

Toutes ces formules découlent de la formule de dérivation d'une composée de fonctions :

• $(f \circ u)'=u'\times f'\circ u$

appliquée dans le sens inverse.

Même si tu n'es pas officiellement censé la connaître par coeur, sa connaissance te permettra de t'en sortir, même si tu as oublié les formules ci-dessus.

Ces formules te sauveront souvent la mise, mais il faudra parfois aussi être prêt à réfléchir et improviser un peu : les fonctions ne correspondront pas toujours parfaitement à une de ces formes (jette un oeil du côté des exercices À savoir refaire).  

Trouver des primitives demande souvent un peu d'intuition et de confiance en soi. N'aie pas peur de prendre un brouillon et d'essayer plein de choses, soit pour te ramener à une des formes du tableau, soit pour trouver une astuce qui te mènera à la solution !