On remarque qu'on ne retombe pas sur $f(x)$, mais sur $f(x)+e^x$. Ce n'est pas le moment de baisser les bras, tu n'es pas loin ! Surtout que comme on l'a dit, la fonction exponentielle n'est pas modifiée par la dérivation !

• Retirons donc $e^x$ à $F$, elle sera automatiquement retirée à sa dérivée, et on retombera sur $f$ !
  • Prenons donc $F(x)=xe^x-e^x$, $x\in R$.
  • Alors, pour tout $x$ réel, $F'(x)=e^x+xe^x-e^x=xe^x=f(x)$ !
• Donc on a trouvé une primitive de $f$.

Pour t'entraîner essaye de trouver de manière similaire les primitives de $\ln x$. Indice : regarde la dérivée de la fonction $f:x \mapsto x\ln (x)$...

Quand tu as, comme ici, une valeur absolue qui intervient, il faut tout de suite avoir le réflexe de séparer les cas pour te ramener à deux fonctions sans valeurs absolues :

• pour $x>1$, $x-1>0$ donc $|x-1|=x-1$ et donc $f(x)=x-1+3=x+2$,
• pour $x<1$, $x-1<0$ donc $|x-1|=-(x-1)$ et donc $f(x)=-(x-1)+3=-x+4$.

Donc $f$ est définie par :

• $f(x)=-x+4$ si $x<1$
• $f(x)=x+2$ si $x>1$

Tu peux alors tracer la représentation graphique de $f$ :

On demande de calculer  $\int_{-1}^{2}f(x)dx$. Cela correspond donc à l'aire sous la courbe entre $-1$ et $2$.

On se ramène donc au calcul de l'aire des trapèzes $1$ et $2$.   Rappel : $\text{Aire}_{Trapeze} = \frac{(\text{base1}+\text{base2})\times \text{hauteur}}{2}$   Donc ici :

• $A_1=\frac{(5+3)\times 2}{2}=8$ unités d'aire ;
• $A_2 = \frac{(3+4)\times 1}{2} = 3,5$ unités d’aire.

  Dans cet exemple, cela se vérifie facilement en comptant directement les rectangles unités d'aire compris dans les trapèzes.  

• L'aire sous la courbe vaut donc $8+3,5=11,5$ unités d'aire.

Ainsi, on a trouvé que $\int_{-1}^{2}f(x)dx=11,5$

Soit $n$ un entier naturel non nul et $x$ un réel appartenant à $[n;n+1]$.

• Alors $n \leq x \leq n+1$
• La fonction inverse étant décroissante sur $]0; + \infty[$, on a $\frac{1}{n+1} \leq \frac{1}{x} \leq \frac{1}{n}$

C'est l'étape la plus délicate : elle demande un peu d'intuition. Fais cette recherche au brouillon : elle a pour but de savoir par où commencer.  

• Soit $n$ un entier naturel non nul.
  • $\ln(1+\frac{1}{n})=\ln(\frac{n+1}{n})$
  • $=\ln(n+1)-\ln(n)$
  • $=[\ln(x)]_{n}^{n+1}$
• On reconnaît une écriture de la forme $[F(x)]_a^b$.
• On va donc intégrer entre les bornes $n$ et $n+1$

• D’après le résultat trouvé en question 1), pour tout entier naturel $n \geq 1$ et tout $x$ de $[n;n+1]$ :
  • $\frac{1}{n+1} \leq \frac{1}{x} \leq \frac{1}{n}$

 

• Or les fonctions constantes et la fonction inverse sont continues sur $]0; +\infty[$, donc sur tout invervalle de la forme $[n;n+1]$ avec $n \neq 0$.

 

• On peut donc utiliser la propriété de conservation de l’ordre des intégrales qui nous donne l’inégalité suivante :
  • $\int_{n}^{n+1}\frac{1}{n+1}dx \leq \int_{n}^{n+1}\frac{1}{x}dx \leq \int_{n}^{n+1}\frac{1}{n}dx$

   

• Or, $x \mapsto \ln(x)$ est une primitive de $x \mapsto \frac{1}{x}$ sur $[0;+ \infty[$, donc :
  
  
• $[\ln(x)]_{n}^{n+1}=\int_{n}^{n+1}\frac{1}{x}dx$

Il s'agit donc d'encadrer $\frac{1}{x}$. On passe alors au propre :

• Soit $n$ un entier, $n\geq 1$.

$x \in [n ; n+1]$ $\Leftrightarrow n \leq x \leq n+1$ $\Leftrightarrow \frac{1}{n} \geq \frac{1}{x} \geq \frac{1}{n+1}$ (car la fonction inverse est décroissante sur $R_+^*$) $\Leftrightarrow \frac{1}{n+1} \leq \frac{1}{x} \leq \frac{1}{n}$

Alors, d'après la propriété de conservation de l'ordre de l'intégrale, on a, pour tout entier $n\geq 1$ :

• $\int_{n}^{n+1}\frac{1}{n+1}dx \leq \int_{n}^{n+1}\frac{1}{x}dx \leq \int_{n}^{n+1}\frac{1}{n}dx$
• Donc par linéarité de l’intégrale : $\frac{1}{n+1}\int_{n}^{n+1}1dx \leq \int_{n}^{n+1}\frac{1}{x}dx \leq \frac{1}{n}\int_{n}^{n+1}1dx$
• Donc $\frac{1}{n+1}[x]_{n}^{n+1} \leq [\ln(x)]_{n}^{n+1} \leq \frac{1}{n}[x]_{n}^{n+1}$
• D'où : $\frac{1}{n+1}\leq \ln(1+\frac{1}{n})\leq \frac{1}{n}$

On a bien prouvé que pour tout entier $n\geq 1$,

• $\frac{1}{n+1}\leq \ln(1+\frac{1}{n})\leq \frac{1}{n}$