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Formules et Théorèmes
1
Propriétés de la fonction logarithme népérien
2
Étude de la fonction logarithme népérien
3
Les fonctions de la forme ln⁡(u)\ln(u) et logarithme décimal
Graphiques
3
Les fonctions de la forme ln⁡(u)\ln(u) et logarithme décimal

    • ADérivée d’une fonction de la forme $$\ln(u)$$

      • Propriété

        Dérivée d’une fonction de la forme ln⁡(u)\ln(u)

        Soit uu une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle II.
        Soit ff la fonction définie par f(x)=ln⁡(u(x))f(x)=\ln (u(x)).
        • ff est dérivable sur II.
        • Pour tout réel xx de II : f′(x)=u′(x)u(x)f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.

      • Exemple

        Soit ff la fonction définie sur RR par f(x)=ln⁡(3x2+1)f(x)=\ln (3x^2+1).
        • 3x2+13x^2+1 est strictement positif sur RR, donc ff est dérivable sur RR.
        • Pour tout réel x,f′(x)=6x3x2+1x, f'(x)=\frac{6x}{3x^2+1}

    • BFonction logarithme décimal

      • Définition

        Définition de la fonction logarithme décimal

        On appelle fonction « logarithme décimal » la fonction définie sur ]0:+∞[]0 :+\infty[ par :
        • log⁡(x)=ln⁡(x)ln⁡(10)\log(x) = \frac{\ln (x)}{\ln (10)}

      • Propriété

        Propriétés de la fonction log⁡\log

        • La fonction log⁡\log est strictement croissante sur ]0;+∞[]0;+\infty[.
        • La fonction log⁡\log est dérivable sur ]0;+∞[]0;+\infty[.

      • Propriété

        Propriétés de calcul du logarithme décimal

        Soient aa et bb des réels strictement positifs et nn un entier naturel.
        • log⁡(10n)=n\log (10^n)=n
        • log⁡(10)=1\log (10)=1 et log⁡(1)=0\log (1) = 0
        • log⁡(a×b)=log⁡(a)+log⁡(b)\log (a \times b) = \log (a) + \log (b)
        • log⁡(ab)=log⁡(a)−log⁡(b)\log \left(\frac{a}{b}\right) = \log (a) - \log (b)
        • log⁡(an)=nlog⁡(a)\log (a^n)=n \log (a)
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