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CHAPITRE

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Propriétés de la fonction logarithme népérien

Étude de la fonction logarithme népérien

\ln(u)

et logarithme décimal

Graphiques

Propriétés de la fonction logarithme népérien

- ADéfinition
  - Définition
    Définition de la fonction logarithme népérien
    Soit $a$ un nombre réel strictement positif.
    
    Il existe une unique solution à l’équation $e^x=a$ , c’est $x=\ln(a)$ .
    
    $\ln(a)$ se lit « logarithme népérien de $a$ ».
    
    La fonction logarithme népérien est à la fonction qui à tout $x$ strictement positif associe $\ln(x)$ .
  - Propriété
    Équivalence entre logarithme et exponentielle
    Soit $a$ un réel et $b$ un réel strictement positif.
    
    Si $e^a=b$ , alors $a=\ln(b)$ , et réciproquement.
  - Remarque
    $e^{\ln(a)}=a$ et $\ln (e^a)=a$
  - Propriété
    Domaine de définition de la fonction $\ln$
    La fonction $\ln$ est définie et continue sur $]0 ; +\infty[$ .
    
    Attention : $\ln(0)$ n'existe pas !
    
    Attention : si $a$ est un réel négatif, alors $\ln(a)$ n’existe pas !
  - Propriété
    Monotonie et signe de la fonction $ln$
    La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$ .
    
    Si $x \in \ ]0;1[$ , alors $\ln x<0$ (et réciproquement).
    
    Si $x \in \ ]1;+\infty[$ , alors $\ln x>0$ (et réciproquement).
- BPropriétés de calcul de la fonction logarithme népérien
  - Propriété
    Valeurs remarquables de la fonction logarithme népérien
    
    $\ln(1)=0$
    
    $\ln(e)=1$
  - Propriété
    Relation fonctionnelle (logarithme d’un produit)
    Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs.
    
    $\ln (a \times b) = \ln(a) + \ln(b)$
  - Propriété
    Logarithme d’un quotient
    Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs.
    
    $\ln \left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$
    
    $\ln \left(\frac{1}{b}\right) = -\ln(b)$
  - Propriété
    Logarithme d’une puissance
    Soit $a$ un nombre réel strictement positif et $n$ un entier naturel.
    
    $\ln (a^n) = n \ln(a)$
  - Remarque
    $\ln \left(\frac{1}{a^n}\right)=-n\ln(a)$
    
    $\ln \left(\sqrt{a}\right)=\frac{1}{2}\ln(a)$
- CÉquations et inéquations avec la fonction exponentielle
  - Propriété
    Égalité de logarithmes
    Soient $a$ et $b$ deux nombres réels strictement positifs.
    
    Si $\ln(a)=\ln(b)$ alors $a=b$ , et réciproquement.
  - Propriété
    Inéquation de logarithmes
    Soient $a$ et $b$ deux nombres réels strictement positifs.
    
    Si $\ln(a)<\ln(b)$ alors $a<b$ , et réciproquement.
  - Exemple
    Soit $a$ un réel strictement positif tel que $\ln(a)<0$ .
    
    On sait que $\ln(1)=0$ , donc on peut écrire $\ln(a)<\ln(1)$ .
    
    Donc $a<1$ .

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ADéfinition

Définition

Définition de la fonction logarithme népérien

Propriété

Équivalence entre logarithme et exponentielle

Remarque

Propriété

Domaine de définition de la fonction ln⁡\lnln

Propriété

Monotonie et signe de la fonction lnlnln

BPropriétés de calcul de la fonction logarithme népérien

Propriété

Valeurs remarquables de la fonction logarithme népérien

Propriété

Relation fonctionnelle (logarithme d’un produit)

Propriété

Logarithme d’un quotient

Propriété

Logarithme d’une puissance

Remarque

CÉquations et inéquations avec la fonction exponentielle

Propriété

Égalité de logarithmes

Propriété

Inéquation de logarithmes

Exemple

Domaine de définition de la fonction $\ln$

Monotonie et signe de la fonction $ln$