undefined - Fiche de révision Afterclasse

CHAPITRE

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\ln(u)

Formules et Théorèmes

Relation entre $\exp$ et $\ln$
Soient $a$ et $b$ des nombres réels, avec $b$ strictement positif.
$e^a= b$ équivaut à $a=\ln (b)$

$e^{\ln (b)}=b$ et $\ln (e^a)=a$
Relation fonctionnelle de $\ln$
Soient $a$ et $b$ des nombres réels strictement positifs.
$\ln (a \times b)=\ln (a) + \ln (b)$
Autres propriétés de calcul de $\ln$
Soient $a$ et $b$ des nombres réels strictement positifs, et $n$ un entier naturel.
$\ln \left(\frac{a}{b}\right) = \ln (a) - \ln (b)$
$\ln \left(\frac{1}{b}\right) = -\ln (b)$
$\ln (a^n) = n \ln (a)$
$\ln\left(\frac{1}{a^n}\right) = -n \ln (a)$
$\ln\left(\sqrt{a}\right) = \frac{1}{2} \ln (a)$
Valeurs remarquables de $\ln$
Il existe deux valeurs remarquables de $\ln$ à mémoriser :
$\ln (1)=0$
$\ln (e)=1$
Limites de $\ln$
Voici les deux limites de $\ln$ à connaître :
$\lim_{x \to +\infty} \ln (x) = +\infty$
$\lim_{x \to 0^+} \ln (x) = -\infty$
Limites d’opérations avec $\ln$
Soit $u$ une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$ . Pour tout réel $x$ de $I$ :
$(\ln (u))' (x)=\frac{u'(x)}{u(x)}$
Le logarithme décimal
Pour tout réel $x$ strictement positif :
$\log (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (10)}$
Propriétés algébriques de $\log$
Soient $a$ et $b$ des réels strictement positifs et $n$ un entier naturel.
$\log (10^n)=n$
$\log (10)=1$ et $\log (1) = 0$
$\log (a \times b) = \log (a) + \log (b)$
$\log \left(\frac{a}{b}\right) = \log (a )- \log (b)$
$\log (a^n)=n \log (a)$

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