Proposition :
Il existe une unique fonction $f$ dérivable sur $R$, telle que $f'=f$ et $f(0)=1$. Démontrer l'unicité de cette fonction.

Démonstration :
L'existence d’une telle fonction est admise. On doit seulement démontrer que cette fonction est unique.


Étape 1 : Poser le principe de la démonstration

• Démontrer que la fonction $f$ est unique revient à démontrer que si $g$ est une autre fonction vérifiant $g'=g$ et $g(0)=1$, alors forcément $f=g$.
• Démontrer que $f=g$ revient par ailleurs à démontrer que $\frac{g}{f}=1$. Allons-y !

 

Étape 2 : Commencer par démontrer que $f$ ne s’annule pas

Pour démontrer que $\frac{g}{f}=1$, encore faut-il démontrer que $f$ ne s’annule pas.

• On pose $u$ la fonction définie sur $R$ par $u(x)=f(x) \times f(-x)$.
  • Or on sait que $f'(x)=f(x)$
  • et on sait que la dérivée de $f(-x)$ est $-f'(-x)$ (fonction composée).

• Donc $u'(x)= f'(x)f(-x)+f(x)(-f'(-x))$ (dérivée d’un produit de fonctions).
  • Or on sait que $f'=f$.

• Donc $u'(x)=0$ pour tout réel $x$.
• Donc $u$ est constante sur $R$.
  • Or on sait que $u(0)=f(0) \times f(0) = 1 \times 1 = 1$

• Donc pour tout réel $x$, $u(x)=1=f(x) \times f(-x)$. Or si un produit de facteur ne s'annule pas, cela signifie qu'aucun des deux facteurs ne s'annule.
• Donc $f$ ne s’annule pas.

Étape 3 : Démontrer que $\frac{g}{f}=1$

Démontrer que $\frac{g}{f}=1$ revient à démontrer que sa dérivée est nulle et qu’elle prend la valeur $1$ pour une valeur particulière de $x$. C’est parti !

• On vient de démontrer que $f$ ne s’annule pas sur $R$.
• Donc $\frac{g}{f}$ est dérivable sur $R$.

Calculons la dérivée de $\frac{g}{f}$ :

• $(\frac{g}{f})'=\frac{g'f-gf'}{f^2}$
  • Or par définition $g'=g$ et $f'=f$
• Donc $(\frac{g}{f})'=0$
• Donc $\frac{g}{f}$ est bien constante sur $R$.

Démontrons maintenant que $\frac{g}{f} (x)=1$ sur une valeur particulière de $x$.

• $(\frac{g}{f})(0)= \frac{g(0)}{f(0)}$
  • Or par définition $g(0)=1$ et $f(0)=1$.
• Donc $(\frac{g}{f})(0)=1$

Étape 4 : Conclure la démonstration

On vient donc de démontrer que $\frac{g}{f}$ est constante et égale à 1 sur $R$.

• Donc $g=f$ sur $R$.
• Donc il existe bien une unique fonction $f$ dérivable sur $R$ telle que $f'=f$ et $f(0)=1$.

Proposition :
Démontrer que $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$.

Démonstration :

Étape 1 : Poser le principe de la démonstration 

• Pour démontrer qu’une fonction tend vers $+\infty$, on utilise très souvent le théorème de comparaison de limites.
• Il faut donc trouver une fonction $g$ telle que $e^x>g(x)$ à partir d’un réel $a$, avec $\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$
• Or le cours nous dit que « $exp$ l’emporte sur $x$ », alors que $x$ bien vers $+\infty$. C’est tout trouvé !

 
Étape 2 : Démontrer que $exp(x)>x$ à partir d’un certain réel .

On pose $u$ la fonction définie sur $R$ par $u(x)=e^x-x$. On étudie cette fonction :

• Pour tout réel $u'(x)=e^x-1$.
  • Or par définition $e^0=1$ et $e$ est strictement croissante.
• Donc sur $]0;+\infty[$, $u'(x)>0$ et $u$ est strictement croissante.

Or $u(0)=e^0-0=1$ et $u$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$.

• Donc pour tout réel $x$ strictement positif : $u(x)>1>0$.
• Donc pour tout réel $x$ strictement positif : $e^x-x>0$, donc $e^x>x$.

Étape 3 : Utiliser le théorème de comparaison de limites

• Pour tout réel $x$ strictement supérieur à $0$ : $e^x>x$.
  • Or on sait que $\lim_{x \to +\infty} x = +\infty$
• Donc par comparaison, $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$

Proposition :
Démontrer que $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$

Démonstration :

• On sait que pour tout réel $x : e^x = \frac{1}{e^{-x}}$
• Donc $\lim_{x \to -\infty} e^x = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{e^{-x}}$

Pour tout réel $x$, on définit le réel $X$ égal à $-x$

• Ainsi $\lim_{x \to -\infty} e^x = \lim_{X \to +\infty} \frac{1}{e^{X}}$
  • Or $\lim_{X \to +\infty} e^X = +\infty$.

• Donc $\lim_{X \to +\infty} \frac{1}{e^{X}}=0$, soit en remplaçant $X$ par $-x$ : $\lim_{-x \to +\infty} \frac{1}{e^{-x}}=0=\lim_{-x \to +\infty} e^{x}$
• Donc $\lim_{x \to -\infty} e^{x}=0$