CHAPITRE
Formules et Théorèmes
1
2
3
Graphiques
Démonstrations
1
ADéfinition
Théorème
Définition de la fonction exponentielle
Il existe une unique fonction f dérivable sur R, telle que f′=f et f(0)=1. Cette fonction est appelée fonction exponentielle.- On la note exp ou e.
Propriété
Signe et monotonie de la fonction exponentielle
- La fonction exponentielle est strictement positive sur R.
- Pour tout réel a, exp(a)>0.
- La fonction exponentielle est strictement croissante sur R.
- La fonction exponentielle est strictement positive sur R.
Remarque
- Il n’existe aucun réel a tel que exp(a)=0.
- Il n’existe aucun réel b tel que exp(b)<0.
BPropriétés de calcul de la fonction exponentielle
Propriété
Valeurs remarquables de la fonction exponentielle
- exp(0)=1
- On note e le réel égal à exp(1)
- e1≈2,718...
Propriété
Exponentielle d’une somme
Soient a et b deux nombres réels.- exp(a+b)=exp(a)×exp(b)
Propriété
Puissance d’exponentielles
Soit a un nombre réel et n un entier naturel.- (exp(a))n=exp(na)
Propriété
Exponentielle d’une soustraction
Soient a et b deux nombres réels.- exp(a−b)=exp(b)exp(a)
Remarque
Un cas particulier de cette formule donne avec a=0 pour tout réel b :- exp(−b)=exp(b)exp(0)=exp(b)1
CÉquations et inéquations avec la fonction exponentielle
Propriété
Égalité d’exponentielles
Soient a et b deux nombres réels.- Si exp(a)=exp(b) alors a=b, et réciproquement.
Exemple
Résoudre e4x2=ex1−3x revient à résoudre 4x2=x1−3x.Propriété
Inéquation d’exponentielles
Soient a et b deux nombres réels.- Si exp(a)<exp(b) alors a<b, et réciproquement.
Exemple
Soit a un réel tel que exp(a)<1.- On sait que exp(0)=1, donc on peut écrire exp(a)<exp(0).
- Donc a<0.
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