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Formules et Théorèmes
1
Rappels généraux sur la dérivation
2
Rappels sur dérivée, tangente et variation
3
Dérivées de
u
\sqrt{u}
u
,
u
n
u^n
u
n
et
f
(
a
x
+
b
)
f(ax+b)
f
(
a
x
+
b
)
4
Dérivée d’une fonction composée
À savoir refaire
3
Dérivées de
u
\sqrt{u}
u
,
u
n
u^n
u
n
et
f
(
a
x
+
b
)
f(ax+b)
f
(
a
x
+
b
)
A
Dérivée de la fonction $$\sqrt{u}$$
Propriété
Dérivée de la fonction
u
\sqrt{u}
u
Soit
u
u
u
une fonction
positive, non nulle
et dérivable sur un ensemble
I
I
I
.
La fonction
f
=
u
f=\sqrt{u}
f
=
u
est dérivable sur
I
I
I
.
f
′
=
u
′
2
u
f'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}
f
′
=
2
u
u
′
Exemple
Soit
h
h
h
la fonction définie sur
R
R
R
par
h
(
x
)
=
x
2
+
1
h(x)=\sqrt{x^2+1}
h
(
x
)
=
x
2
+
1
.
La fonction définie par
x
2
+
1
x^2+1
x
2
+
1
est strictement positive et dérivable sur
R
R
R
. Sa dérivée est égale à
2
x
2x
2
x
.
Donc pour tout
x
x
x
de
R
R
R
,
h
′
(
x
)
=
2
x
2
x
2
+
1
h'(x)=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}
h
′
(
x
)
=
2
x
2
+
1
2
x
B
Dérivée de la fonction $$u^n$$
Propriété
Dérivée de la fonction
u
n
u^n
u
n
Soit
u
u
u
une fonction dérivable sur un ensemble
I
I
I
, et
n
n
n
un entier naturel
non nul
.
La fonction
f
=
u
n
f=u^n
f
=
u
n
est dérivable sur
I
I
I
.
f
′
=
n
u
′
u
n
−
1
f'=n \ u' \ u^{n-1}
f
′
=
n
u
′
u
n
−
1
Exemple
Soit
h
h
h
la fonction définie sur
R
R
R
par
h
(
x
)
=
(
4
x
2
+
3
)
3
h(x)=(4x^2+3)^3
h
(
x
)
=
(
4
x
2
+
3
)
3
.
La fonction définie par
4
x
2
+
3
4x^2+3
4
x
2
+
3
est dérivable sur
R
R
R
. Sa dérivée est égale à
8
x
8x
8
x
.
Donc pour tout
x
x
x
de
R
R
R
,
h
′
(
x
)
=
3
×
8
x
×
(
4
x
2
+
3
)
2
=
24
x
(
4
x
2
+
3
)
2
h'(x)=3 \times 8x \times (4x^2+3)^{2}=24x \ (4x^2+3)^2
h
′
(
x
)
=
3
×
8
x
×
(
4
x
2
+
3
)
2
=
24
x
(
4
x
2
+
3
)
2
.
C
Dérivée de la fonction $$f(ax+b)$$
Propriété
Dérivée de la fonction
f
(
a
x
+
b
)
f(ax+b)
f
(
a
x
+
b
)
Soit
f
f
f
une fonction dérivable sur un ensemble
I
I
I
. Soient
a
a
a
et
b
b
b
des nombres réels.
La fonction définie par
f
(
a
x
+
b
)
f(ax+b)
f
(
a
x
+
b
)
est dérivable en tout
x
x
x
réel tel que
a
x
+
b
ax+b
a
x
+
b
appartient à l’ensemble
I
I
I
.
f
′
(
x
)
=
a
f
′
(
a
x
+
b
)
f'(x)=af'(ax+b)
f
′
(
x
)
=
a
f
′
(
a
x
+
b
)
Exemple
Soit
v
v
v
une fonction dérivable sur
R
R
R
et
v
′
v'
v
′
sa dérivée définie par
v
′
(
y
)
=
3
y
2
+
2
y
v'(y)=\sqrt{3y^2+2y}
v
′
(
y
)
=
3
y
2
+
2
y
.
Soit
h
h
h
la fonction définie par
h
(
x
)
=
v
(
2
x
+
1
)
h(x)=v(2x+1)
h
(
x
)
=
v
(
2
x
+
1
)
.
h
h
h
est dérivable sur
R
R
R
.
D'après la formule du cours,
h
′
(
x
)
=
2
×
v
′
(
2
x
+
1
)
h'(x)=2\times v'(2x+1)
h
′
(
x
)
=
2
×
v
′
(
2
x
+
1
)
.
Donc
h
′
(
x
)
=
2
3
(
2
x
+
1
)
2
+
2
(
2
x
+
1
)
=
2
12
x
2
+
16
x
+
5
h'(x)=2\sqrt{3(2x+1)^2+2(2x+1)}=2\sqrt{12x^2+16x+5}
h
′
(
x
)
=
2
3
(
2
x
+
1
)
2
+
2
(
2
x
+
1
)
=
2
12
x
2
+
16
x
+
5
.
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