Soient $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$, $a$ un réel appartenant à $I$ et  $C_f$ sa courbe représentative passant par le point $A$ de coordonnées $(a;f(a))$.

• La tangente à $C_f$ en $A$ est la droite de coefficient directeur $f'(a)$ et qui passe par le point $A$.

Soit $f$ une fonction dérivable en $a$.
Une équation de la tangente à la courbe représentative $C_f$ au point $A$ de coordonnées $(a;f(a))$ est :

• $y = f'(a)(x - a) + f(a)$

Soient $f$ la fonction définie par $f(x) = x^2$ sur $R$ et $C_f$ sa courbe représentative. On cherche à calculer l’équation de la tangente à $C_f$ au point de coordonnées $(1;f(1))$.

• $f'(x)=2x$
• Donc $f'(1) = 2 \times 1 = 2$.
• La tangente à $C_f$ au point d’abscisse $1$ est donc la droite d'équation $y = 2(x-1) +1 = 2x - 1$.

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. Alors sur tout sous-intervalle de $I$ :

• Si $f' \geq 0$ alors $f$ est croissante sur ce sous-intervalle.
• Si $f' > 0$ alors $f$ est strictement croissante sur ce sous-intervalle.

• Si $f' \leq 0$ alors $f$ est décroissante sur ce sous-intervalle.
• Si $f' < 0$ alors $f$ est strictement décroissante sur ce sous-intervalle.

Les réciproques de ces propriétés sont vraies lorsque $f$ est dérivable sur $I$.
Ainsi, pour tout sous-intervalle de $I$ :

• Si $f$ est dérivable et croissante, alors $f' \geq 0$ sur ce sous-intervalle.
• Si $f$ est dérivable et strictement croissante, alors $f' > 0$ sur ce sous-intervalle.

• Si $f$ est dérivable et décroissante, alors $f' \leq 0$ sur ce sous-intervalle.
• Si $f$ est dérivable et strictement décroissante, alors $f' < 0$ sur ce sous-intervalle.

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = x^2 - x = x(x - 1)$ sur $R$.

• $f'$ est la fonction définie par $f'(x) = 2x - 1$ sur $R$.
• $f'(x) \leq 0$ pour $x \leq \frac{1}{2}$, donc $f$ est décroissante sur $]-\infty;\frac{1}{2}]$.
• $f'(x) \geq 0$ pour $x \geq \frac{1}{2}$, donc $f$ est décroissante sur $[\frac{1}{2};-\infty[$.

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.

• Si $f$ admet un extremum local en $a$, alors $f'(a) = 0$ et $f'$ change de signe en $a$.

• Réciproquement, si $f'(a) = 0$ et $f'$ change de signe en $a$, alors $f$ admet un extremum local en $a$.

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = x^2 - x = x(x - 1)$ et dérivable sur $R$.

• $f'(x) = 2x - 1$
• $f'(\frac{1}{2})=0$
• Or $f'$ est négative sur $]-\infty;\frac{1}{2}[$ et positive sur $]\frac{1}{2};+\infty[$.
• Donc $f'$ change de signe en $\frac{1}{2}$.
• Donc $f$ admet un minimum local en $\frac{1}{2}$.

Voici le tableau de variation de la fonction $f$ définie par $f(x) = x^2 - x$ sur $R$.