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Formules et Théorèmes
1
Rappels généraux sur la dérivation
2
Rappels sur dérivée, tangente et variation
3
Dérivées de u\sqrt{u}, unu^n et f(ax+b)f(ax+b)
4
Dérivée d’une fonction composée
À savoir refaire
À savoir refaire

  • Étudier une fonction de la forme u(x)\sqrt{u(x)}

    Soit la fonction ff définie par f(x)=x−1x+1f(x) = \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} sur ]1;+∞[]1;+\infty[.
    Détermine si ff est dérivable, sur quel intervalle, et calcule sa dérivée le cas échéant.
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      Repérer la composition de fonctions

      • Tu remarques que ff est composée de plusieurs fonctions :
        • la fonction racine carrée ;
        • une fonction qu’on appellera uu définie par u(x)=x−1x+1u(x) = \frac{x-1}{x+1}.
      • On a alors f(x)=u(x)f(x) = \sqrt{u(x)}.
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      Étudier la dérivabilité de la fonction uu

      • uu est un quotient de polynômes dont le dénominateur s’annule en −1-1 uniquement.
      • Donc uu est définie et dérivable sur ]−∞;−1[]-\infty;-1[ et ]−1;+∞[]-1;+\infty[.
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      Étudier le signe de la fonction uu

      • Comme f=uf=\sqrt{u}, on sait d'après le cours que ff est dérivable là où uu est strictement positive. 
        • On cherche donc à déterminer l’intervalle sur lequel uu est strictement positive.
      • Commençons donc par étudier le signe de uu avec le tableau qui suit :
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      En déduire l’intervalle de dérivabilité de ff

      • D'après le tableau précédent, uu est une fonction strictement positive sur l’intervalle ]1;+∞[]1; +\infty[. 
      • Par ailleurs, on a démontré en étape 2 que uu est dérivable sur ]1;+∞[]1; +\infty[.
      • uu est strictement positive et dérivable sur ]1;+∞[]1; +\infty[, donc d'après le cours ff est dérivable sur ]1;+∞[]1; +\infty[.
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      Calculer la fonction dérivée

      f=uf=\sqrt{u}. Or le cours nous dit :
      • f′=u′2uf'= \frac{u'}{2\sqrt{u}}.
      Il nous faut donc calculer u′u' en utilisant les dérivées usuelles :
      • u′(x)=(x+1)×1−1×(x−1)(x+1)2=2(x+1)2u'(x) = \frac{(x+1)\times1 - 1\times(x - 1)}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2}
      On en déduit l’expression de f′f' :
      • f′=2(x+1)2×12x−1x+1f'=\frac{2}{(x+1)^2}\times \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}
      Donc :
      • f′=1(x+1)2×x+1x−1f'=\frac{1}{(x+1)^2} \times \sqrt{\frac{x+1}{x-1}}

  • Déterminer si une fonction est dérivable en un point

    Démontre par le calcul que la fonction ff définie par f(x)=x−1f(x) = \sqrt{x-1} n’est pas dérivable en 11.
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      Déterminer le domaine de définition de la fonction

      • (x−1)(x-1) n’est positif que sur [1;+∞[[1;+\infty[.
      • Donc ff est définie sur [1;+∞[[1;+\infty[.
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      Se souvenir de la formule du cours

      • Pour étudier la dérivabilité d’une fonction en un point, il faut calculer la limite suivante :
        • lim⁡h→0f(1+h)−f(1)h\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(1+h) - f(1)} {h}
      • ff n’étant définie que pour les valeurs de xx supérieure à 11, on va calculer la limite en 11 par valeurs supérieures (puisque les valeurs inférieures n’existent pas !) c'est-à-dire lim⁡h→0+f(1+h)−f(1)h\lim_{h \rightarrow 0^+} \frac{f(1+h) - f(1)} {h} (avec un + au dessus du 00).
      • On nomme AA cette limite pour simplifier l’écriture. Il ne reste plus qu’à la calculer. Allons-y !
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      Réaliser le calcul

      • A=lim⁡h→0+f(1+h)−f(1)h=lim⁡h→0+1+h−1−0hA =\lim_{h \rightarrow 0^+}\frac{f(1+h) - f(1)} {h} =\lim_{h \rightarrow 0^+}\frac{\sqrt{1+h-1}-0}{h}
      • A=lim⁡h→0+1+h−1−0h=lim⁡h→0+hhA =\lim_{h \rightarrow 0^+}\frac{\sqrt{1+h-1}-0}{h} =\lim_{h \rightarrow 0^+}\frac{\sqrt{h}}{h}
      • A=lim⁡h→0+hh=lim⁡h→0+1hA =\lim_{h \rightarrow 0^+}\frac{\sqrt{h}}{h} =\lim_{h \rightarrow 0^+}\frac{1}{\sqrt{h}}
      Or d’après le cours :
      • lim⁡h→01h=+∞\lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{\sqrt{h}}=+\infty.

      Donc AA n’existe pas.
      Donc ff n’est pas dérivable en 11.

  • Déterminer la position relative d’une courbe et de sa tangente en un point

    On considère la fonction ff définie par f(x)=4x3−8x2+x−1f(x)=4x^3-8x^2+x-1 et CfC_f sa courbe représentative.
    Détermine une équation de la tangente TT à CfC_f au point d’abscisse 12\frac{1}{2}.
    Détermine aussi la position relative de TT par rapport à CfC_f.
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      ff est une fonction polynomiale de degré 33, donc ff est dérivable sur RR.
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      Calculer la dérivée de ff

      On calcule la fonction dérivée de ff, qui est une fonction polynomiale :
      • f′(x)=12x2−16x+1f'(x)=12x^2-16x+1
      2
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      Calculer le nombre dérivé de ff en 11

      • f′(1)=12×12−16+1f'(1)=12 \times 1^2 - 16 +1
      Donc :
      • f′(1)=−3f'(1)=-3
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      En déduire une équation de TT

      D’après le cours, une équation de la tangente en un point d’abscisse aa est de la forme :
      • y=f′(a) (x−a)+f(a)y=f'(a) \ (x-a) + f(a)
      Ainsi, une équation de la tangente à CfC_f au point d’abscisse 11 est :
      • y=f′(1) (x−1)+f(1)y=f'(1) \ (x-1) + f(1)
      • donc y=−3(x−1)+(4−8+1−1)y= -3(x-1) + (4-8+1-1)
      • donc y=−3x−1y= -3x-1
      La tangente à CfC_f a donc pour équation y=−3x−1y=-3x-1.
      4
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      Calculer f(x)−yf(x)-y

      Pour déterminer la position relative des deux courbes on commence par calculer l’expression « f(x)−yf(x)-y » :
      • f(x)−(−3x−1)=4x3−8x2+x−1+3x+1f(x)-(-3x-1)=4x^3-8x^2+x-1+3x+1
      • Donc f(x)−(−3x−1)=4x3−8x2+4xf(x)-(-3x-1)=4x^3-8x^2+4x
      • En factorisant : f(x)−(−3x−1)=x(4x2−8x+4)f(x)-(-3x-1)=x(4x^2-8x+4)
      • Avec les identités remarquables : f(x)−(−3x−1)=x(2x−2)2f(x)-(-3x-1)=x(2x-2)^2
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      Déterminer la position relative des courbes

      • f(x)−y=x(2x−2)2f(x)-y=x(2x-2)^2
      • Or (2x−2)2(2x-2)^2 est toujours positif (puisque c’est un carré) et s’annule pour x=1x=1.
      • On en déduit le signe de f(x)−yf(x)-y :
        • sur ]−∞;0[]-\infty;0[, f(x)−y<0f(x)-y<0
          • donc f(x)<yf(x)<y, ce qu’on peut lire comme « CfC_f est en dessous de TT ».
        • sur ]0;1[]0;1[ et ]1;+∞[]1;+\infty[, f(x)−y>0f(x)-y>0
          • donc f(x)>yf(x)>y ce qu’on peut lire comme « CfC_f est au-dessus de TT ».
        • en 00 et en 11, f(x)=yf(x)=y
          • donc CfC_f et TT se touchent aux points d’abscisses 00 et 11.
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