Soit $f$ une fonction définie au voisinage d’un réel $a$.

• On note $\lim_{x \to a^+} f(x)$ la limite de $f$ en $a$ quand $x$ s’approche de $a$ en restant supérieur à $a$.
• On dit aussi « limite de $f$ en $a$ par valeurs supérieures ».
• On note $\lim_{x \to a^-} f(x)$ la limite de $f$ en $a$ quand $x$ s’approche de $a$ en restant inférieur à $a$.
• On dit aussi « limite de $f$ en $a$ par valeurs inférieures ».

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ contenant $a$.

• $f$ est continue en $a$ si $\lim_{x \to a^+} f(x) =\lim_{x \to a^-} f(x)= f(a)$.
• On dit qu’une fonction est continue si on peut tracer sa courbe sans lever le crayon.

Attention à ne pas confondre « fonction définie sur $I$ » et « fonction continue sur $I$ » : une fonction peut être définie sur $I$ mais pas continue (comme sur le graphique ci-dessus).

Si une fonction $f$ est dérivable sur un intervalle $I$, alors elle est continue sur $I$ (la réciproque n'est pas vraie).

Soient $f$ et $g$ des fonctions continues sur $I$, et $n$ un entier naturel.

• $f+g$, $f \times g$ et $f^n$ sont continues sur $I$.
• $\frac{1}{g}$ et $\frac{f}{g}$ sont continues sur les sous-intervalles de $I$ où $g$ ne s'annule pas.

La fonction définie par $f(x)=\frac{x+2}{x}$ est continue sur $]-\infty;0[$ et $]0;+\infty[$.

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a;b]$.

• Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ il existe au moins un réel $c$ tel que $f(c)=k$.

On voit sur la figure qu’il peut exister plusieurs réels (par exemple ici $c$, $c'$ et $c''$) tels que $f(c)=f(c')=f(c'')=k$.

Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $[a;b]$.

• Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ il existe un unique réel $c$ tel que $f(c)=k$.