Lever une indétermination en utilisant la quantité conjuguée
Calcule limx→+∞x+1−x
0
0
Appliquer le mécanisme de quantité conjuguée
On multiplie le numérateur et le dénominateur par la quantité conjuguée, ce qui donne :
x+1−x=(x+1+x)(x+1−x)×(x+1+x)
1
1
Développer en utilisant les identités remarquables
(x+1−x)×(x+1+x)=((x+1)2−(x)2)=1
Donc :
x+1−x=x+1+x1
2
2
Calculer la limite
limx→+∞x+1−x=limx→+∞x+1+x1
or limx→+∞x+1+x=+∞
Donc :
limx→+∞x+1+x1=0=limx→+∞x+1−x
Lever une indétermination en utilisant un théorème de comparaison
Calcule limx→+∞sin(x2)+x.
0
0
Encadrer le terme dont la limite est indéterminée
Ici, on sait que sin(x2) n’a pas de limite en +∞.
Mais on sait aussi que pour tout réel x, −1≤sin(x2).
Astuce : quand il faut calculer des limites avec cos ou sin tu dois toujours avoir le réflexe d'encadrer par 1 et −1, cela aide très souvent à lever une forme indéterminée.
1
1
En déduire une inégalité
Donc :
−1+x≤sin(x)+x
2
2
Appliquer un théorème de comparaison
limx→+∞−1+x=limx→+∞x=+∞
Donc par comparaison :
limx→+∞sin(x)+x=+∞
Lever une indétermination en utilisant le théorème des gendarmes
Calcule limx→+∞xcos(x).
0
0
Encadrer le terme dont la limite est indéterminée
Ici, on sait que cos(x) n’a pas de limite en +∞.
Mais on sait aussi que pour tout réel x, −1≤cos(x)≤1.
Astuce : quand il faut calculer des limites avec cos ou sin tu dois toujours avoir le réflexe d'encadrer par 1 et −1, cela aide très souvent à lever une forme indéterminée.
1
1
En déduire une inégalité
Donc :
−x1≤xcos(x)≤x1
2
2
Appliquer le théorème des gendarmes
On sait que limx→+∞−x1=limx→+∞x1=0.
Donc d’après le théorème des gendarmes :
limx→+∞xcos(x)=0
Lever une indétermination en utilisant le théorème des limites de fonctions composées
Calcule limx→+∞(−2x2+x−63x+3)4.
0
0
Identifier la fonction composée
On est incapable de calculer simplement (−2x2+x−63x+3)4, on va donc utiliser les fonctions composées pour déterminer cette limite.
On pose :
f définie par f(x)=−2x2+x−63x+3 (définie et continue au voisinage de +∞).
g définie par g(x)=x4 (définie et continue sur R).
On a alors (−2x2+x−63x+3)4=g∘f(x)
1
1
On commence par calculer la limite de la fonction « après le ∘ », c'est à dire ici f.