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Exercices
Fiches de cours
0 pts
Formules et Théorèmes
1
Définition des limites de fonctions
2
Les asymptotes
3
Opérations et compositions de limites
4
Comparaison de limites
5
Continuité d’une fonction
Graphiques
À savoir refaire
Formules et Théorèmes
Sommes de limites (par abus de notation)
Soient
L
L
L
et
L
′
L'
L
′
deux nombres réels.
L
+
L
′
=
L
+
L
′
L+L' = L+L'
L
+
L
′
=
L
+
L
′
L
+
∞
=
∞
L + \infty = \infty
L
+
∞
=
∞
(
+
∞
)
+
(
+
∞
)
=
+
∞
(+ \infty) + (+ \infty)=+ \infty
(
+
∞
)
+
(
+
∞
)
=
+
∞
(
−
∞
)
+
(
−
∞
)
=
−
∞
(- \infty) + (- \infty)=- \infty
(
−
∞
)
+
(
−
∞
)
=
−
∞
(
+
∞
)
+
(
−
∞
)
=
(+ \infty) + (- \infty)=
(
+
∞
)
+
(
−
∞
)
=
forme indéterminée
Produits de limites (par abus de notation)
Soient
L
L
L
et
L
′
L'
L
′
deux nombres réels différents de
0
0
0
.
L
×
L
′
=
L
×
L
′
L \times L' = L \times L'
L
×
L
′
=
L
×
L
′
L
×
(
+
∞
)
=
+
∞
L \times (+\infty) = +\infty
L
×
(
+
∞
)
=
+
∞
si
L
>
0
L>0
L
>
0
et
−
∞
-\infty
−
∞
si
L
<
0
L<0
L
<
0
L
×
(
−
∞
)
=
−
∞
L \times (-\infty) = -\infty
L
×
(
−
∞
)
=
−
∞
si
L
>
0
L>0
L
>
0
et
+
∞
+\infty
+
∞
si
L
<
0
L<0
L
<
0
(
+
∞
)
×
(
+
∞
)
=
+
∞
(+ \infty) \times (+ \infty)=+ \infty
(
+
∞
)
×
(
+
∞
)
=
+
∞
(
−
∞
)
×
(
−
∞
)
=
+
∞
(- \infty) \times (- \infty)=+ \infty
(
−
∞
)
×
(
−
∞
)
=
+
∞
(
+
∞
)
×
(
−
∞
)
=
−
∞
(+ \infty) \times (- \infty)=- \infty
(
+
∞
)
×
(
−
∞
)
=
−
∞
0
×
∞
=
0 \times \infty=
0
×
∞
=
forme indéterminée
Quotient de limites (par abus de notation)
Soient
L
L
L
et
L
′
L'
L
′
deux nombres réels différents de
0
0
0
.
L
L
′
=
L
L
′
\frac{L}{L'} = \frac{L}{L'}
L
′
L
=
L
′
L
L
∞
=
0
\frac{L}{\infty}=0
∞
L
=
0
L
0
=
±
∞
\frac{L}{0}=\pm\infty
0
L
=
±
∞
∞
L
′
=
∞
\frac{\infty}{L'}=\infty
L
′
∞
=
∞
0
0
=
\frac{0}{0}=
0
0
=
forme indéterminée
∞
∞
=
\frac{\infty}{\infty}=
∞
∞
=
forme indéterminée
Limite d’un polynôme
Soit
P
P
P
un polynôme de degré
n
n
n
dont le terme de plus haut degré est
a
x
n
ax^n
a
x
n
, où
a
a
a
est un réel.
lim
x
→
∞
P
(
x
)
=
lim
x
→
∞
a
x
n
\lim_{x \to \infty} P(x) = \lim_{x \to \infty} ax^n
lim
x
→
∞
P
(
x
)
=
lim
x
→
∞
a
x
n
Limite d’un quotient de polynômes
Soient :
P
P
P
un polynôme de degré
n
n
n
dont le terme de plus haut degré est
a
x
n
ax^n
a
x
n
, où
a
a
a
est un réel ;
Q
Q
Q
un polynôme de degré
m
m
m
dont le terme de plus haut degré est
b
x
m
bx^m
b
x
m
, où
b
b
b
est un réel non nul.
lim
x
→
∞
P
(
x
)
Q
(
x
)
=
lim
x
→
∞
a
x
n
b
x
m
=
lim
x
→
∞
a
b
x
n
−
m
\lim_{x \to \infty} \frac{P(x)}{Q(x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{ax^n}{bx^m}=\lim_{x \to \infty} \frac{a}{b} x^{n-m}
lim
x
→
∞
Q
(
x
)
P
(
x
)
=
lim
x
→
∞
b
x
m
a
x
n
=
lim
x
→
∞
b
a
x
n
−
m
Limite d’une fonction composée
Soient :
a
,
b
a, b
a
,
b
et
c
c
c
des réels pouvant être remplacés par
+
∞
+\infty
+
∞
ou
−
∞
-\infty
−
∞
.
f
f
f
une fonction définie au voisinage de
a
a
a
et
g
g
g
une fonction définie au voisinage de
b
b
b
.
Si
lim
x
→
a
f
(
x
)
=
b
\lim_{x \to a} f(x)=b
lim
x
→
a
f
(
x
)
=
b
et
lim
x
→
b
g
(
x
)
=
c
\lim_{x \to b} g(x)=c
lim
x
→
b
g
(
x
)
=
c
,
alors
lim
x
→
a
f
(
g
(
x
)
)
=
c
\lim_{x \to a} f(g(x))=c
lim
x
→
a
f
(
g
(
x
))
=
c
.
Théorème de comparaison de limites infinies
Soient :
a
a
a
un réel pouvant être remplacé par
+
∞
+\infty
+
∞
ou
−
∞
-\infty
−
∞
,
f
f
f
et
g
g
g
trois fonctions définies au voisinage de
a
a
a
.
On considère tout réel
x
x
x
assez proche de
a
a
a
.
Si
f
(
x
)
≥
g
(
x
)
f(x) \geq g(x)
f
(
x
)
≥
g
(
x
)
et si
lim
x
→
a
g
(
x
)
=
+
∞
\lim_{x \to a} g(x) = +\infty
lim
x
→
a
g
(
x
)
=
+
∞
,
alors
lim
x
→
a
f
(
x
)
=
+
∞
\lim_{x \to a} f(x) = +\infty
lim
x
→
a
f
(
x
)
=
+
∞
.
Si
f
(
x
)
≤
g
(
x
)
f(x) \leq g(x)
f
(
x
)
≤
g
(
x
)
et si
lim
x
→
a
g
(
x
)
=
−
∞
\lim_{x \to a} g(x) = -\infty
lim
x
→
a
g
(
x
)
=
−
∞
,
alors
lim
x
→
a
f
(
x
)
=
−
∞
\lim_{x \to a} f(x) = -\infty
lim
x
→
a
f
(
x
)
=
−
∞
.
Théorème de comparaison de limites infinies
Soient :
a
a
a
un réel pouvant être remplacé par
+
∞
+\infty
+
∞
ou
−
∞
-\infty
−
∞
,
L
L
L
un réel,
f
f
f
,
g
g
g
et
h
h
h
trois fonctions définies au voisinage de
a
a
a
.
On considère tout réel
x
x
x
assez proche de
a
a
a
.
Si
f
(
x
)
≤
g
(
x
)
≤
h
(
x
)
f(x) \leq g(x) \leq h(x)
f
(
x
)
≤
g
(
x
)
≤
h
(
x
)
et si
lim
x
→
a
f
(
x
)
=
lim
x
→
a
h
(
x
)
=
L
\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L
lim
x
→
a
f
(
x
)
=
lim
x
→
a
h
(
x
)
=
L
,
alors
lim
x
→
a
g
(
x
)
=
L
\lim_{x \to a} g(x) = L
lim
x
→
a
g
(
x
)
=
L
.
Théorème des valeurs intermédiaires
Soient
f
f
f
une fonction continue sur un intervalle
[
a
;
b
]
[a;b]
[
a
;
b
]
et
k
k
k
un réel.
Si
k
k
k
est compris entre
f
(
a
)
f(a)
f
(
a
)
et
f
(
b
)
f(b)
f
(
b
)
,
alors il existe au moins un réel
c
c
c
tel que
f
(
c
)
=
k
f(c)=k
f
(
c
)
=
k
.
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