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Formules et Théorèmes
1
Le raisonnement par récurrence
2
Limites de suites et opérations sur les limites
3
Suites majorées, minorées, et comparaison
Graphiques
Démonstrations
À savoir refaire
Démonstrations
Une suite minorée par une suite divergeant vers
+
∞
+\infty
+
∞
diverge vers
+
∞
+\infty
+
∞
(comparaison)
Théorème
Soient
(
u
n
)
(u_n)
(
u
n
)
et
(
v
n
)
(v_n)
(
v
n
)
deux suites telles que
lim
n
→
+
∞
(
u
n
)
=
+
∞
\lim_{n \to +\infty}(u_n)=+\infty
lim
n
→
+
∞
(
u
n
)
=
+
∞
, et telles qu’à partir d’un certain rang
v
n
≥
u
n
v_n \geq u_n
v
n
≥
u
n
.
Alors
lim
n
→
+
∞
(
v
n
)
=
+
∞
\lim_{n \to +\infty}(v_n)=+\infty
lim
n
→
+
∞
(
v
n
)
=
+
∞
.
Démonstration
Soit
A
A
A
un réel et
I
I
I
l’intervalle défini par
]
A
;
+
∞
[
]A;+\infty[
]
A
;
+
∞
[
.
lim
n
→
+
∞
(
u
n
)
=
+
∞
\lim_{n \to +\infty}(u_n)=+\infty
lim
n
→
+
∞
(
u
n
)
=
+
∞
Donc par définition, il existe donc un entier
n
1
n_1
n
1
tel que, pour tout
n
≥
n
1
n \geq n_1
n
≥
n
1
,
u
n
u_n
u
n
appartient à l’intervalle
I
I
I
(c'est à dire
u
n
>
A
u_n>A
u
n
>
A
).
Par ailleurs, il existe d'après l'énoncé un entier
n
2
n_2
n
2
tel que pour tout
n
≥
n
2
n \geq n_2
n
≥
n
2
,
v
n
≥
u
n
v_n \geq u_n
v
n
≥
u
n
Soit
N
N
N
l’entier égal au maximum de
n
1
n_1
n
1
et
n
2
n_2
n
2
. Pour tout
n
n
n
supérieur à
N
N
N
:
v
n
≥
u
n
v_n \geq u_n
v
n
≥
u
n
et
u
n
≥
A
u_n \geq A
u
n
≥
A
donc
v
n
≥
A
v_n \geq A
v
n
≥
A
Cette propriété est vraie pour tout réel
A
A
A
.
Donc d’après la définition d’une suite divergente, on a démontré que
lim
n
→
+
∞
(
v
n
)
=
+
∞
\lim_{n \to +\infty}(v_n)=+\infty
lim
n
→
+
∞
(
v
n
)
=
+
∞
.
Remarque
: entraîne-toi à prouver de façon symétrique qu’une suite majorée par une suite divergeant vers
−
∞
-\infty
−
∞
diverge aussi vers
−
∞
-\infty
−
∞
.
Une suite géométrique positive de raison strictement plus grande que
1
1
1
diverge vers
+
∞
+\infty
+
∞
Théorème
Soit
q
q
q
un réel strictement plus grand que
1
1
1
, et
(
u
n
)
(u_n)
(
u
n
)
la suite définie par
u
n
=
q
n
u_n=q^n
u
n
=
q
n
.
Alors
lim
n
→
+
∞
(
u
n
)
=
+
∞
\lim_{n \to +\infty}(u_n)=+\infty
lim
n
→
+
∞
(
u
n
)
=
+
∞
.
Démonstration
Soit
α
\alpha
α
un réel strictement positif et
(
v
n
)
(v_n)
(
v
n
)
la suite définie par
v
n
=
α
n
+
1
v_n=\alpha n +1
v
n
=
α
n
+
1
.
lim
n
→
+
∞
(
v
n
)
=
+
∞
\lim_{n \to +\infty}(v_n)=+\infty
lim
n
→
+
∞
(
v
n
)
=
+
∞
, car
α
>
0
\alpha>0
α
>
0
.
La démonstration consiste donc à démontrer la propriété
P
(
n
)
:
(
α
+
1
)
n
≥
α
n
+
1
P(n):(\alpha+1)^n \geq \alpha n +1
P
(
n
)
:
(
α
+
1
)
n
≥
α
n
+
1
, pour tout
n
n
n
, puis à utiliser le théorème de comparaison.
Raisonnons par récurrence :
Initialisation
:
P
(
0
)
:
(
α
+
1
)
0
=
1
≥
1
+
0
×
α
P(0) : (\alpha+1)^0 = 1 \geq 1 + 0 \times \alpha
P
(
0
)
:
(
α
+
1
)
0
=
1
≥
1
+
0
×
α
, donc
P
(
0
)
P(0)
P
(
0
)
est vraie.
Hérédité
: supposons
P
P
P
vraie à un certain rang
n
≥
0
n \geq 0
n
≥
0
et étudions l'expression de P(n+1).
P
(
n
+
1
)
:
(
α
+
1
)
n
+
1
=
(
α
+
1
)
(
α
+
1
)
n
P(n+1) : (\alpha+1)^{n+1} = (\alpha+1)(\alpha+1)^n
P
(
n
+
1
)
:
(
α
+
1
)
n
+
1
=
(
α
+
1
)
(
α
+
1
)
n
Or
P
(
n
)
P(n)
P
(
n
)
étant vraie, on a :
(
α
+
1
)
n
≥
α
n
+
1
(\alpha+1)^n \geq \alpha n +1
(
α
+
1
)
n
≥
α
n
+
1
Donc
(
α
+
1
)
n
+
1
=
(
α
+
1
)
(
α
+
1
)
n
≥
(
α
+
1
)
(
α
n
+
1
)
(\alpha+1)^{n+1} = (\alpha+1)(\alpha+1)^n \geq (\alpha+1)(\alpha n+1)
(
α
+
1
)
n
+
1
=
(
α
+
1
)
(
α
+
1
)
n
≥
(
α
+
1
)
(
α
n
+
1
)
Donc
(
α
+
1
)
n
+
1
≥
1
+
α
(
n
+
1
)
+
α
2
n
≥
1
+
α
(
n
+
1
)
(\alpha+1)^{n+1} \geq 1 + \alpha (n+1) + \alpha^2 n \geq 1 + \alpha (n+1)
(
α
+
1
)
n
+
1
≥
1
+
α
(
n
+
1
)
+
α
2
n
≥
1
+
α
(
n
+
1
)
puisque
α
2
n
≥
0
\alpha^2n \geq 0
α
2
n
≥
0
Donc
P
(
n
+
1
)
P(n+1)
P
(
n
+
1
)
est vraie.
Conclusion
: on a donc montré par récurrence que
P
(
n
)
P(n)
P
(
n
)
est vraie pour tout
n
n
n
.
Utilisons cette propriété pour démontrer le théorème :
q
>
1
q>1
q
>
1
, donc
q
−
1
>
0
q-1>0
q
−
1
>
0
. Donc
q
−
1
q-1
q
−
1
est une valeur possible pour
α
\alpha
α
.
On remplace donc
α
\alpha
α
par
q
−
1
q-1
q
−
1
dans ces expressions et on applique la propriété
P
(
n
)
P(n)
P
(
n
)
avec
α
=
q
−
1
\alpha=q-1
α
=
q
−
1
:
(
1
+
(
q
−
1
)
)
n
≥
(
q
−
1
)
n
+
1
(1+(q-1))^n \geq (q-1)n+1
(
1
+
(
q
−
1
)
)
n
≥
(
q
−
1
)
n
+
1
donc
q
n
≥
(
q
−
1
)
n
+
1
q^n \geq (q-1)n+1
q
n
≥
(
q
−
1
)
n
+
1
Donc
u
n
>
v
n
u_n>v_n
u
n
>
v
n
Or
lim
n
→
+
∞
(
v
n
)
=
+
∞
\lim_{n \to +\infty}(v_n)=+\infty
lim
n
→
+
∞
(
v
n
)
=
+
∞
, car
q
−
1
>
0
q-1>0
q
−
1
>
0
.
Par comparaison, on conclut que que
lim
n
→
+
∞
(
q
n
)
=
+
∞
\lim_{n \to +\infty}(q^n)=+\infty
lim
n
→
+
∞
(
q
n
)
=
+
∞
.
Remarque
: on peut prouver de façon symétrique qu’une suite géométrique négative de raison
q
<
−
1
q<-1
q
<
−
1
diverge vers
−
∞
-\infty
−
∞
.
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