CHAPITRE
Accueil
Exercices
Fiches de cours
0 pts
Imprimer
Formules et Théorèmes
1
Le raisonnement par récurrence
2
Limites de suites et opérations sur les limites
3
Suites majorées, minorées, et comparaison
Graphiques
Démonstrations
À savoir refaire
3
Suites majorées, minorées, et comparaison
A
Suites majorées, minorées et bornées
Définition
Suite majorée
On dit qu’une suite
(
u
n
)
(u_n)
(
u
n
)
est majorée par un réel
M
M
M
si pour tout
n
n
n
:
u
n
<
M
u_n<M
u
n
<
M
Définition
Suite minorée
On dit qu’une suite
(
u
n
)
(u_n)
(
u
n
)
est minorée par un réel
m
m
m
si pour tout
n
n
n
:
m
<
u
n
m<u_n
m
<
u
n
Définition
Suite bornée
On dit qu’une suite
(
u
n
)
(u_n)
(
u
n
)
est bornée, si elle est
à la fois majorée et minorée
. Il existe donc deux réels
m
m
m
et
M
M
M
tels que pour tout entier
n
n
n
:
m
<
u
n
<
M
m<u_n<M
m
<
u
n
<
M
Propriété
Sens de variation, convergence et majoration/minoration
Si une suite est croissante et converge vers
L
L
L
, alors elle est
majorée
par
L
L
L
.
Si une suite est décroissante et converge vers
L
L
L
, alors elle est
minorée
par
L
L
L
.
Théorème
Convergence d’une suite monotone
Si une suite est majorée et croissante, alors elle
converge
.
Corollaire : si une suite est croissante mais non majorée, alors sa limite est
+
∞
+\infty
+
∞
.
Si une suite est minorée et décroissante, alors elle
converge
.
Corollaire : si une suite est décroissante mais non minorée, alors sa limite est
−
∞
-\infty
−
∞
.
B
Comparaison de suites
Théorème
Comparaison de suites convergentes
Soient
(
u
n
)
(u_n)
(
u
n
)
une suite qui converge vers
L
L
L
et
(
v
n
)
(v_n)
(
v
n
)
une suite qui converge vers
l
l
l
.
S’il existe un rang à partir duquel
v
n
≤
u
n
v_n \leq u_n
v
n
≤
u
n
:
alors
l
≤
L
l \leq L
l
≤
L
Théorème
Comparaison de suites divergentes
Une suite minorée à partir d’un certain rang par une suite divergeant vers
+
∞
+\infty
+
∞
diverge aussi vers
+
∞
+\infty
+
∞
.
Une suite majorée à partir d’un certain rang par une suite divergeant vers
−
∞
-\infty
−
∞
diverge aussi vers
−
∞
-\infty
−
∞
.
Théorème
Théorème des gendarmes
Soient
(
u
n
)
(u_n)
(
u
n
)
et
(
w
n
)
(w_n)
(
w
n
)
des suites qui convergent vers un réel
L
L
L
. Soit
(
v
n
)
(v_n)
(
v
n
)
une autre suite.
S’il existe un rang à partir duquel
u
n
<
v
n
<
w
n
u_n<v_n<w_n
u
n
<
v
n
<
w
n
:
alors
lim
n
→
+
∞
v
n
=
L
\lim_{n \to +\infty}v_n=L
lim
n
→
+
∞
v
n
=
L
M'inscrire
Me Connecter
Niveau 3ème >
Français
Histoire
Géographie
Mathématiques
SVT
Physique-Chimie
Espagnol
Mentions légales
Mes enfants
Fermer
6ème
5ème
4ème
3ème
2nde
Première
Terminale
Mon Profil
remplacer
Nom d'utilisateur
Prénom
Nom
Date de naissance
Niveau
6ème
5ème
4ème
3ème
2nde
Première
Terminale
Email
Email des Parents
Enregistrer
Changer mon mot de passe
Mon Profil
remplacer
Prénom
Nom
Matière
Allemand
Anglais
Arts plastiques
Espagnol
Français
Histoire-Géographie
Mathématiques
Musique
Philosophie
Physique-Chimie
SES
SVT
Email
Enregistrer
Changer mon mot de passe
Mon Profil
remplacer
Prénom
Nom
Email
Enregistrer
Changer mon mot de passe
Utilisation des cookies
Lors de votre navigation sur ce site, des cookies nécessaires au bon fonctionnement et exemptés de consentement sont déposés.