undefined - Fiche de révision Afterclasse

CHAPITRE

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Formules et Théorèmes

Le raisonnement par récurrence

Limites de suites et opérations sur les limites

Suites majorées, minorées, et comparaison

Graphiques

Démonstrations

À savoir refaire

Suites majorées, minorées, et comparaison

- ASuites majorées, minorées et bornées
  - Définition
    Suite majorée
    On dit qu’une suite $(u_n)$ est majorée par un réel $M$ si pour tout $n$ :
    
    $u_n<M$
  - Définition
    Suite minorée
    On dit qu’une suite $(u_n)$ est minorée par un réel $m$ si pour tout $n$ :
    
    $m<u_n$
  - Définition
    Suite bornée
    On dit qu’une suite $(u_n)$ est bornée, si elle est à la fois majorée et minorée. Il existe donc deux réels $m$ et $M$ tels que pour tout entier $n$ :
    
    $m<u_n<M$
  - Propriété
    Sens de variation, convergence et majoration/minoration
    
    Si une suite est croissante et converge vers $L$ , alors elle est majorée par $L$ .
    
    Si une suite est décroissante et converge vers $L$ , alors elle est minorée par $L$ .
  - Théorème
    Convergence d’une suite monotone
    
    Si une suite est majorée et croissante, alors elle converge.
    
    Corollaire : si une suite est croissante mais non majorée, alors sa limite est $+\infty$ .
    
    Si une suite est minorée et décroissante, alors elle converge.
    
    Corollaire : si une suite est décroissante mais non minorée, alors sa limite est $-\infty$ .
- BComparaison de suites
  - Théorème
    Comparaison de suites convergentes
    Soient $(u_n)$ une suite qui converge vers $L$ et $(v_n)$ une suite qui converge vers $l$ .
    S’il existe un rang à partir duquel $v_n \leq u_n$ :
    
    alors $l \leq L$
  - Théorème
    Comparaison de suites divergentes
    
    Une suite minorée à partir d’un certain rang par une suite divergeant vers $+\infty$ diverge aussi vers $+\infty$ .
    
    Une suite majorée à partir d’un certain rang par une suite divergeant vers $-\infty$ diverge aussi vers $-\infty$ .
  - Théorème
    Théorème des gendarmes
    Soient $(u_n)$ et $(w_n)$ des suites qui convergent vers un réel $L$ . Soit $(v_n)$ une autre suite.
    S’il existe un rang à partir duquel $u_n<v_n<w_n$ :
    
    alors $\lim_{n \to +\infty}v_n=L$