« un » sans les parenthèses désigne le terme de rang n.
On peut définir une suite par une fonction : un=f(n).
Ou par récurrence : un+1=f(un).
Rappel
Suites arithmétiques et suites géométriques
Les suites arithmétiques sont de la forme :
un+1=un+r ;
ou un=u0+r×n.
Les suites géométriques sont de la forme :
un+1=un×q ;
ou un=u0×qn.
Définition
Raisonnement par récurrence
Le raisonnement par récurrence vise à démontrer de proche en proche une propriété P(n) d’une suite, à partir du rang n0. Les étapes sont les suivantes :
Initialisation : on montre que P(n0) est vraie.
Hérédité : on choisit un entier n≥n0. On suppose que P(n) est vraie (hypothèse de récurrence), et on s’en sert pour montrer que P(n+1) est vraie.
Conclusion : on en déduit que P(n) est vraie pour tout n≥n0.
Exemple
Soit (un) la suite définie par u0=0 et un+1=2un+1. On cherche à démontrer par récurrence la propriété P(n) selon laquelle un=2n−1, pour tout entier naturel n.
Initialisation : u0=0 et 20−1=1−1=0. Donc P(0) est vraie.
Héréditié : soit k un entier naturel.
On suppose que P(k) est vraie. Donc uk=2k−1.
Or l’énoncé dit que uk+1=2uk+1.
Donc uk+1=2×(2k−1)+1=2k+1−2+1=2k+1−1. Donc P(k+1) est vraie.
Conclusion : d’après le principe de récurrence, P(n) est vraie pour tout entier naturel n.
Remarque
Attention : une propriété peut être héréditaire, sans être vraie, si l’initialisation n’est pas vérifiée ! Il ne faut donc jamais oublier d’initialiser le raisonnement par récurrence.