• $u_0=0$ et $2^0-1=1-1=0$.

Donc $P(0)$ est vraie.

Soit $k$ un entier naturel.

• On suppose que $P(k)$ est vraie (donc $u_k=2^k-1$) et on étudie l'expression de $P(k+1)$.
• L’énoncé dit que $u_{k+1}=2u_k+1$.
• Donc $u_{k+1}=2 \times (2^k-1)+1=2^{k+1}-2+1=2^{k+1}-1$.

Donc $P(k+1)$ est vraie.

D’après le principe de récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$.

On commence par calculer quelques termes « pour voir ce que ça donne ».

• $u_1=2\times 1^2 +(-1)^1=1$
• $u_2=9$
• $u_3=17$
• $u_4=33$

Sur quelques valeurs, on voit bien que plus $n$ grandit, plus $u_n$ grandit de façon importante. On peut donc légitimement penser que la suite diverge vers $+\infty$.

Il reste encore à le démontrer ! Pour démontrer qu’une suite diverge vers $+\infty$, on peut essayer de la minorer par une autre suite dont on sait de façon certaine qu’elle diverge aussi vers $+\infty$.

On sait que $(-1)^n$ est égal à $-1$ ou $1$ suivant que $n$ est pair ou impair.

• Donc pour tout $n$, $(-1)^n>-1$.
• Donc pour tout $n$, $u_n>n^2-1$.
• Or on sait de façon certaine que $\lim_{n \to +\infty}(n^2-1)=+\infty$.

Donc d’après le théorème des comparaisons de limites, on a démontré que $\lim_{n \to +\infty} (u_n)=+\infty$.

D’après le cours :

• $\lim_{n \to +\infty} 2\sqrt n=+\infty$
• $\lim_{n \to +\infty} n=+\infty$

On a donc affaire à une forme indéterminée de type « $\infty-\infty$ ».

Pour lever l’indétermination, on factorise $(u_n)$ par $n$ (qu'on appelle par abus de langage le terme « le plus fort »).

• $u_n=2\sqrt n-n$
• donc $u_n=n(\frac{2 \sqrt n}{n}-1)$
• or $\frac{\sqrt n}{n}=\frac{1}{\sqrt n}$
• donc $u_n=n(\frac{2}{\sqrt n}-1)$

On calcule les limites de chaque membre :

• $\lim_{n \to +\infty} n=+\infty$
• Calculons $\lim_{n \to +\infty} (\frac{2}{\sqrt n}-1)$ :
• d’après le cours : $\lim_{n \to +\infty} (\frac{2}{\sqrt n})=0$
• donc $\lim_{n \to +\infty} (\frac{2}{\sqrt n}-1)=-1$

Donc en appliquant les propriétés des limites d’un produit de suites, on a $\lim_{n \to +\infty} u_n=-\infty$.